印度数学家拉马努金于 2020 年 4 月 26 日逝世一百周年，如何评价他一生的经历与贡献? 第1页

对 拉马努金 一生的评价就两个字——开挂！

在所有数学家中，最适合用 开挂 二字来形容的恐怕就是拉马努金了. 世人给他这个评价对他来说是实至名归的，因为他的研究成果是那么的诡异且影响巨大，下面我将列举一二.

拉马努金

1916 年，拉马努金研究了函数

这是一个 自守形式. 它的 傅里叶 展开为

其中 称为 拉马努金 函数，这是一个 可乘函数. 拉马努金对 进行了大量的计算得到

并提出了下述三个重要的猜想：

(1). 若令 ，则有

其中 为素数.

(2). 对素数 ，我们有

(3). 对素数 ，我们有

对于 猜想 (1)，Mordell 在 1917 年给出了证明. 是 的 L-函数，这个猜想给出了一个 2 次 的 欧拉积，而我非常熟悉的 Dirichlet L-函数 的欧拉积

是 1 次 的.

猜想 (2) 则在 60 年后的 1974 年由著名的数学家 Deligne 利用 代数几何 的方法予以解决，并因此获得了 1978 年的 菲尔兹奖. 由

可知，对每个素数 ，存在唯一的 ，使得

而关于这个 的性质，我们又有迄今尚未解决的相当重要的猜想：

Sato-Tate 猜想：对任意 ，有

这个猜想说的是 集中在 附近.

而 猜想 (3) 现在已经推广成了

上述这些猜想的解决都用到了数学中非常重要的 模形式 理论！

分拆函数

记 为正整数 表示成正整数之和的方法数，我们称 为 分拆函数. 比如

从而我们有

1915 年，拉马努金给出了下述 的性质：

并断言 是使这类公式具有最简单形式的素数. 后来，数学家利用 模形式 这一强大的理论找到了关于 的类似的公式：

可以看出这些公式远比拉马努金给出的公式复杂，由此可知他的论断得到了很好的证实！

是一个增长得非常快的函数，比如

由此可知对于很大的 ，要求出 就相当困难了，那么 是否有计算公式呢？1918 年，哈代 和 拉马努金 首次给出了 的渐近公式

这是一个非常漂亮的公式，因为公式中竟然同时出现了数学中最重要的两个常数 和 .

圆周率

拉马努金一生得到过很多关于 的公式.

其中公式

在 1989 年被 Chudnovsky 兄弟 改造为

这是目前计算 最快的公式之一，它每计算一项可提供不少于 14 位的有效数字. 现在 的世界记录是 31415926535897 位有效数字，用此公式大约要算 2243994752564 项.

Lambert 级数

级数 称为 Lambert 级数， 拉马努金得到过很多关于 Lambert 级数的结果.

(1). 设 ，， ，则有

特别地，当 ， 为奇数时，有

由此可知

(2). 设 ，， ，则有

当 ， 为奇数时，我们有

由此可知

特别地，我们有

而且这还是一个素数！

当 为偶数时，设 ， ，则我们有

特别地，当 ，且 不是 的倍数时，我们有

上式精度很高，且 为整数. 比如

特别地，我们有

(3). 设 ， ，则我们有

特别地，当 时，我们有

现在，拉马努金的这些公式已经被数学家 Berndt 等人利用 模形式 的理论人整合成了一个异常强大的公式：

定理：对任意非零整数 和 ，我们有

其中 为 上半平面， 为 伯努利数， 为 伯努利多项式， 为 黎曼 Zeta 函数. 且当 时，我们规定

除此之外，关于 Lambert 级数拉马努金还得到了下述结论：

其中常数

为 双纽线周率.

的士数

话说一次拉马努金生病住院了，哈代乘坐一辆编号为 的的士去看他. 哈代是一个数论迷，所以坐车的时候连的士的编号也要拿出来研究一番，除了 之外，他并没有发现这个数有什么特别之处. 到医院后哈代将这件事告诉给了拉马努金，并说 是一个很没意思的数. 但让哈代万万没想到的是拉马努金却说这是一个很有意思的数，因为它是最小的能用两种不同方法表示成两个正整数立方数和的数：

现在我们把最小的能用 种不同方法表示成两个正整数立方数和的数称为 的士数，记作 . 由拉马努金的结论我们知道

在 之后，现在所有的士数均是用电脑搜寻得到的：

对 等更大的 的士数，目前数学家仍在利用计算机努力搜寻中.

椭圆周长公式

我们在小学就知道半径为 的圆的周长公式是 . 到了高中我们学习了 椭圆

但对很多人来说，到高中毕业了，读大学了，甚至大学毕业了，似乎都还没见过椭圆的周长公式. 其实椭圆也有周长公式，只不过它长下面这个样子：

但这个公式怎么带个积分号呢？能不能把积分号去掉呢？回答是：不能！因为公式中的被积函数的原函数是一个超越函数. 但由 Cauchy-Schwarz 不等式 我们不难知道

由此可以得到椭圆周长的两个近似计算公式

但遗憾的是这两个近似计算公式的精度并不高. 这时拉马努金强势登场，他一出手就是大手笔，他给出了下述椭圆周长的近似计算公式：

与前面两个公式不同，拉马努金的这个近似计算公式精度非常高. 如当 时，我们有

从上述计算结果可以看出，前两个公式大概才精确到整数位，而拉马努金的公式已经精确到小数点后 位去了！正所谓没有对比就没有伤害，拉马努金实在是太强悍了！

上述所列仅仅是拉马努金重要研究成果的冰山一角，他的其他重要且有趣的研究成果请各位同学移步数学家 Berndt 等人帮拉马努金整理的巨著——《拉马努金笔记》！

共产主义政党长期治理的喀拉拉邦在印度处于人类发展指数的前茅，这就是共产主义对印度的影响。

另外，南亚人是非常非常喜欢取经名的。这也是一个地域特色了。

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  zhi-bei-jin-e 网友的相关建议: 
      

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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