有什么很牛逼的无理数？ 第1页

就不说 欧拉常数 那些老生常谈的了

来说几个比较著名的但貌似没人提的

1. 卡塔兰常数

注：这里的卡塔兰常数不是我国古代数学家明安图发现的那个卡塔兰数

这是一个不常用的常数，定义式特别漂亮：

当然，这个数目前还没有被证明是否无理

（卡塔兰常数的定义还和Direchlet β函数有关）

这个常数应用并不是特别广，除了在组合数学中的应用以外，比较出名的只有Simon Plouffe给出的无穷多个含有 和三γ函数的恒等式，这些恒等式也很漂亮，下面列出两个：

找资料的时候看到了这个很不错的文章，推一下

2. 塑胶数

塑胶数，又名塑料数、银数， （不知道为什么要取这么个名字，银数或许是为了跟黄金分割数进行区分吧，他俩都是重要数列的邻项比）

看到这个数的时候我吓了一跳：它是一元三次方程 的唯一实数根（由此得出它是代数数）也是Pandovan数列（ ）和Perrin数列（除起始数外形式和Pandovan数列相同的数列）相邻两项比值的极限，同时也是最小的Pisot数（翻了一下Mathworld终于把这个东西搞明白了：指的所有共轭元素的绝对值小于1，且范数等于 的二次或三次代数整数）

形式如下：

这个数还挺神秘的，目前没找到关于它的应用

3. Khinchin常数

这是数学中最神秘的常数之一，被某平台誉为“你不知道你数学就白学了”的五大常数之一（doge）它与几乎所有的实数都有关，但人们还没能完全认识它

在1964年，苏联数学家Khinchin证明了：对于几乎所有实数x（除了有理数、实系数二次方程的解，以及自然对数的底e等特殊情况之外），其连分数表示式的系数 的几何平均数会收敛到一个相同的数，且与实数x的数值无关

也就是

表达式如下：

但因为 计算难度极大，目前人类只算出了它的7035位，并且对于它的无理性目前还没有定论（但好像看到有人说它是超越数）

还有就是，虽然几乎所有实数之连分数系数的几何平均都趋近于辛钦常数，但除了特意建构的实数外，并没有实数被严格证明有此性质，仅有一些数值上的证据，如 和Euler-Mascheroni常数

3.1 Khinchin-Levy常数

闲着没事翻Knowpia发现了这么一个东西，是Khinchin的早期成果，算是在Khinchin常数的证明过程中的一个阶段性结论吧

本来Khinchin在这个阶段证得的东西是下面这样的：

右侧的γ最后被法国数学家Paul Pierre Lévy证得是这么个东西

所以γ就被称为Khinchin-Levy常数，或者是Levy常数

注：有时Levy常数还指

4. Brun常数

1919年，挪威数学家Viggo Brun证明了所有孪生质数的倒数之和收敛于一个常数 ，也就是：

这个常数的发现为孪生质数猜想这个世界难题带来了一个世纪的突破，嗯，或者说阻碍。因为假如上面那个级数发散，那么很容易孪生质数猜想就被证明了，但是它是收敛的……类似地，如果 是无理数，那么孪生质数猜想也会被快速证明，但目前还没有人能证明它的无理性

相关地， 是针对于四胞胎质数的Brun常数，也就是所有的四胞胎质数的倒数之和，即：

5. Erdos-Borwein常数

这个可是确确实实的正统无理数（但貌似不超越），由Erdos本人在1948年证明。它是所有梅森数（即能表示成 的数，此处没有说明是梅森质数）的倒数之和，即：

也可以写成以下四个形式：

（其中 是因子函数，也就是n正因子的数目）

6. Apery常数

这个常数可大有来头了

它的准确定义是黎曼ζ函数（设一复数s的实部>1，则定义 ）的一个值ζ(3)，即：

在1978年Roger Apery证明了它是一个无理数，这个结论史称Apery定理。不久后，一个更为简洁的只需要用到Legendre多项式的证明也被给出了。但是关于其超越性，目前还没被证明

同时，的倒数（也是一个有意义的无理数）也是一个非常nb的常数：如果我们从正整数中随机抽取三个正整数，它们三个两两互质的概率就是的倒数

7. Omega常数

这个数很有意思，它的定义是超越方程的实数根，具有性质，所以可以由e的超越性证明它的超越性（如果是代数数，则是超越数，但又因为，推出矛盾，所以是超越数）。同时它也是Lambert函数的一个值，满足，并且，所以它也被称为“指数黄金比例”

可能会继续更新

只要我能找得到（（

参考资料：

数学常数- Knowpia百科

塑胶数- Knowpia百科

布朗常数- Knowpia百科

卡塔兰常数- Knowpia百科

李维常数- Knowpia百科

辛钦常数- Knowpia百科

黎曼ζ函数- Knowpia百科

阿培里常数- Knowpia百科

欧米加常数- Knowpia百科

科普一个看其他人没有提到的常数，叫做米尔斯常数

这个常数有什么特殊之处呢？就在于，你对其取任意 次幂，得到的数字下取整，也即考虑数列

这个数列的每一项，都是素数

寻找一个素数的生成公式是多么的困难，但是米尔斯常数居然直接用这么简单的一个二重次幂取整就完成了？

验证一下，

这些整数部分都是质数。

但其实，这个常数不能帮助我们寻找素数，因为它是用存在性证明完成的，其证明过程是根据一列有限个素数、它们可以从某一个小区间里的实数取这样的幂次取整得到，而这个数列可以无穷下去，其对应的可行区间却不会缩减到空集来得到的。换句话说，有点对着飞镖画靶子的意味。

但这并不妨碍它成为一个令人惊叹的常数，毕竟上述事实本身也是有其非平凡性的。

另外，从专业一点的角度说，我们并不能确认上述常数就是真正的米尔斯常数，他只是我们目前已知最小的可能的米尔斯常数。米尔斯常数的存在性基于任意两个立方数之间必有素数的假定，但是目前已知的素数密度估计都不能确保这一点，除非黎曼假设成立，那我们倒是可以很方便地得到这个结论。

有人问怎么算这个常数，其实很简单，我们从2开始，假设三次方的整数部分是2，那么其9次方应该在2的三次方和3的三次方之间，这可以是11到23中的任何一个质数。我们不妨取最小的11，这样就能得到一个近似值为9次根号11。再往下我们知道它的27次方应该在11的三次方到12的三次方之间，这又会有一个最小的素数1361，于是我们进一步得到他的近似为1361的27次根号………

以此类推，我们每次反向构造an的素数取值，则下一个a_n+1一定在an的三次方到（an+1）的三次方之间。这就涉及到前面的问题，即是不是总能在这之中找到一个素数，以及我们每一次选择哪一个素数。如果黎曼假设成立，则我们每次一定可以找到一个素数，如果我们每次都选择这个区间中最小的素数，我们得到的就是标准的米尔斯常数。