俄罗斯的数学教育为什么那么强大？ 第1页

本文从20世纪苏联最重要的数学大师、数学教育改革者（被苏联政府委托）柯尔莫戈洛夫的视角出发，主要介绍了柯大师花了二十年推行的中学教育改革、教育理念。原作者Тихомиров教授（柯大师的一个嫡传弟子）语调稍显悲情，但柯大师终于还是留下了一个重要物质遗产——柯尔莫戈洛夫数理特长中学。大家知道，解决庞家莱猜想的佩雷尔曼就是这所中学毕业的，众多院士也从这所中学走出。

Тихомиров教授也谈了一些他对人才培养和社会角色的看法。

由我译自В. М. Тихомиров教授（英文译作Tikhomirov，中文常译作季霍米洛夫，approximation theory方向）为他的老师柯尔莫戈洛夫写的纪念文章《Гений, живший среди нас》，原是俄文，Тихомиров教授写的非常生动、真挚。

文中名字，【安德烈·尼古拉耶维奇】即柯尔莫戈洛夫（有时也译作“柯尔莫哥洛夫”）。

柯尔莫戈洛夫，我们之中的天才：改革苏联中学教育

突然……在这时期，我们面临了他一生的谜题之一：一切都戛然而止——课程、研讨会、出版物等等。这一切都被一个事业——中学数学教育改革所取代。所有人都想知道是什么导致了这种转变。令老师深感遗憾的是，正是在这个领域，他遭受了巨大的挫败，也许是他整个愉快的创作生涯中唯一的挫败。这次失败给他笼罩上了悲伤的影子，无疑加速了他的老去。让我们试着弄清楚发生了什么。

柯尔莫戈洛夫在对教师和同事的口头演讲中，在与家人和朋友的谈话中，以及在他的关于学校事务的文章（约有100篇之多）中，多次谈到数学教育的话题，但他终于未对这个主题写过综合性的总结。

数学教育事业拥有一个异常复杂和微妙的结构，其中国家上层建筑、心理学、经济学、社会学、文化等问题交织在一起。柯尔莫哥洛夫，一个为数学教育改革献出三分之一生命的伟大智者，如果能回答我们一些简单而基本的问题，那该有多好！首先：数学教育的意义是什么？为什么这样认为？是所有人都需要它（以及在多大程度上），还是只有小部分青年需要它？数学教育在每个阶段（小学、中学、高等教育）应该追求什么目标？

可惜的是，安德烈·尼古拉耶维奇没有留下对这些基本问题的分析。在他开始推进数学教育改革的那些年里，很多事情让我感到困惑，在我们的谈话中我有时说：“老师，我们许多人相信你并希望你的工作取得成功的，但不明白你改革的整体目标。跟我说一下吧，我会记下你的话，并努力思考它们，然后我会尝试将其传播给科学界和其他人。 ”但是安德烈·尼古拉耶维奇总是——温和而坚决地——拒绝了我的请求，常以“现在谈还为时过早”、“时机未到”为借口。但那个时候终未到来。

现在我把尝试理解发生的事情（除了一个伟大天才人物的悲剧之外）视为我的责任。

我认为老师的努力最终没有带来圆满结果有两个主要原因：第一个在于我们每个人都必须生活和工作其中的社会意识形态。当时，一切的根本原则是国家的强盛和发展，这也是每个人生活和工作的最高目标。国家的管理者——党——尤其决定了教育的目标和意义。而安德烈·尼古拉耶维奇，在某种程度上，不得不服从这种秩序安排。在 1952 年出版的《数学——科学和职业》一书中，老师写道：“苏联现在需要大量独立研究数学理论问题的研究人员。”他多次改变这个想法：“我们的国家需要许多研究型数学家......”，“我们的国家需要大量训练有素和才华横溢的数学家......”在莫斯科大学，安德烈·尼古拉耶维奇写道：“国家所有高等教育机构都有一个共同的任务——为我们的社会福祉培养专家，培养共产主义的建设者。”那个时代不可或缺的公理之一是对统一教育的要求：每个人都必须接受与其他人完全相同的教育。 1966年党和政府关于学校教育改革的法令通过后，柯尔莫戈洛夫便奉命进行与数学有关的那部分改革。

自然地，问题应该出现了：在我们这个辽阔、多民族、如此发展不均衡和步调不一致，同时又有大量穷苦家庭和心智低下的孩子的国家——读者会很容易地继续列出我国那些年和当代的困难，如何教导孩子们，并且是用同样的方法教大家！柯尔莫戈洛夫老师着手实施这项改革时，可能并没有考虑清楚需要费大力气改变上述状况。

现在我必须说导致了灾难性结果的第二个原因：看似矛盾的是，它与老师美好的人格特质有关。他是一个理想主义者，这不是在这个词的哲学或宗教意义上，而是在他对周围世界的看法中。他有一个美好而阳光的童年，一个氛围融洽的中小学，堪称世界上最好的大学数学系，一个高度教养的人文环境和一个积极乐观的世界观。他仿佛透过特殊的滤镜，在比现实更美好的光线下观察人和周围的一切。这通常带来了奇妙的结果，尤其是对他的学生而言：每个人都想追求柯尔莫戈洛夫老师期许的理想形象，每个人都向上伸展、成长、进步。柯尔莫戈洛夫相信，总的来说，世界上居住的是一群高贵、有教养的人，他们努力寻求真理——总之，类似于他自己以及他终生往来的朋友们。在我看来，在规划未来的中学课程时，他是从苏联学童的理想形象出发的。

我们知道，在 1960 年代，数学教育改革的热情是全面的、世界性的。法国学派采取了特别极端的立场，其领导人认为教学应根据布尔巴基的原则进行。这也对柯尔莫戈洛夫产生了一定的（在许多方面是负面的）影响。但这不是主要的原因。事情在于，柯尔莫戈洛夫通过他的滤镜看世界，他相信对每个人来说，最有吸引力和最令人向往的人类活动是旨在寻找真理的创造性工作。因此，尤其是年轻人，对高等教育的渴望都应该是自然而然的。他多次写道，人类的生活应该以这样一种方式进行规划，即一个人最大限度地把能力到发挥他所选择的创造性活动中。根据所有这些想法，他拟定了一项新的普及中学教育计划。

在柯尔莫戈洛夫看来（同时这也是1966年党的政令指示的），学校数学课程应该科学、严谨、现代。此外，数学教育的目标中，在安德烈·尼古拉耶维奇看来，科学世界观的形成应该是必经之路。例如，柯尔莫戈洛夫写过：“从一般教育的角度来看，几乎无需证明，让所有学生相当牢固地理解至少牛顿的数学自然科学概念是多么可取。”

柯尔莫戈洛夫老师认为升入高等教育机构是中学数学教育最重要的目标之一。 “学生（以及社会），”他写道，“对 十、十一年级的学习感兴趣，这两年可以为他们即将到来的在大学或特殊教育机构的学习尽可能做足准备。”

在数学教育最重要的目标中，柯尔莫戈洛夫还瞄准了“发掘人才”。他是这样写的：“促进培养有数学天分的青年是中学数学教育、数学奥林匹克竞赛，以及其他旨在传播数学知识和自学数学乐趣等活动的重要任务之一。”

1917 年夏天，14 岁的柯尔莫戈洛夫和他少时好友尼古拉·谢利弗斯托夫一起憧憬理想国家的样子——一个理性、劳动、良心和正义占主导的国家。 （不幸的是，这部宪法草案没有通过。）我坚信，在推行教育改革时，柯尔莫戈洛夫老师心中所想的正是那种道德、深沉、求真、高尚、富有创造力的人所居住的理想国家。对于这样的一个理想国，安德烈·尼古拉耶维奇的设想可以像最近的习惯说法那样，“作为基础”（但是，要有一定的保留，因为它仍然包含了太多的”布尔巴基“）。但我们生活在不同的阶段，现实往往与柯尔莫哥洛夫的理想蓝图公然矛盾。

同时，必须说柯尔莫戈洛夫绝不是不食烟火的人。他看到并理解了很多。曾经，在我们刚认识他的时候，他甚至特意履行职责似的告诉我：“拜托，沃洛佳，不要以为我的精神世界只被数学占据了。我是一个内心自由的人，我希望对所有事物自由思考并批判性地评估”。然后我们之间开始了一场对话，并持续了很多年——关于文化、艺术、科学、历史，还有国家。在我们的第一次谈话中，安德烈·尼古拉耶维奇说：“理想的国家应该建立在自由的基础上。”很明显，我们所生活的地方尚不满足这一原则。

柯尔莫戈洛夫看到了他周围发生的一切，但与此同时，在他的书面作品，他例行地忽视严酷的现实，穿越“世纪之脊”，转向某个理想的、自由的国家。他在1952年写道：“面试中，与学生们普遍担忧的相反，全苏所有大学的考官的任务不是迅速‘切断’一个倒霉的申请者，而是仔细地权衡，顾及到考试环境的具体情况，学生在所选专业的工作前景......在莫斯科大学，招生和考试委员会最关心的是不要失去一个准备充分并能够开展严肃工作的申请人。”例如，当时数力系的毕业生 I. I. Nyatetsky-Shapiro 和 F. A. Berezina ，他们展现了潜力并做出了杰出成果，委员会为他们背书，他们被分配到省级学校工作......我可以向自己解释老师所写的内容，因为他试图踏入那个无限理想的“遥远国度”，而忽略不完美的现实。但在实施教育改革的时候，也不能忽视现实。我以且仅以这种角度来评价他的改革措施：这是针对一个理想社会的改革，柯尔莫戈洛夫老师的努力应该从这个角度来看待。

如果我们把个人的权益和志趣放在首位，那么国家应该是一个旨在满足个人自然而不可或缺的权利的机构。这些权益，毫无疑问，也包括接受数学（或任何其他学科）教育。但是一个人应该是真正自由的，特别是可以自由地向国家要求与他的愿望和能力匹配的数学教育。这意味着教育不能，也不应该统一。教育也不一定得是严格的科学方面的，因为人可以有很多不是科学和寻求真理的兴趣（今天各种问卷的结果表明，仅有 1% 的小朋友愿意投身寻求真理）。而且，不可能强加给每个人他必须在形成一种自然科学的世界观——在这里，一个自由的人必须有选择的自由。

以我的拙见，数学教育的目标应该首先是发展，发展数字和图表操作技能、空间想象力、逻辑思维——总之，智力的发展。没有什么比数学更擅长这一点了——人类的历来经验都可以作出证明。所有这些培养训练都应该是有趣、令人兴奋、有启发性的，并普适每个人。但也有必要特别考虑那些从寻求真理、从数学本身的美中，真正享受创造乐趣的人。这些人需要以特殊的方式进行教育。这样的人不在少数——这就是人的天性。而越是繁荣的社会，越是物质丰裕，这个群体越是受人尊崇，从而越能使整个社会高尚起来。而这一部分人也应该有权利接受足够、深入的数学教育。

正是对这一类人来说，伟大的科学家和天才数学家安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫戈洛夫在他超过三分之一的生命中，培育的这许多思想、想法、方法论和计划都是无价的。我只举一个例子：柯尔莫戈洛夫花了很多精力设计了一个完全原创的几何课程。他试图把它建造得严格、科学和现代。为了做到这一点，他创造了自己的、有趣和完全自然的公理。

但要在全国范围内试行，这样的想法当然注定要失败。甚至连柯尔莫戈洛夫最亲密的同事都不理解他，更不用说对他不友好或嫉妒他的同事了。 （后者反对柯尔莫戈洛夫的工作，通常是粗鲁甚至贬低的方式。）

但必须说，中学教育改革的主要目标——推进现代化，尤其是课程应包含微积分——已经实现：这一切都已成为学校实践的一部分。这让我们可以说，柯尔莫戈洛夫二十多年的辛勤工作并没有付诸东流。也许多年后，当人类接近柯尔莫戈洛夫期许的理想状态时——即使在遥远的未来，当一个具有高度文明水准的群体诞生，当创造力成为最宝贵的权益时——那么柯尔莫戈洛夫关于教育的思想肯定会全面的繁荣起来。

伟人的思想是人类的共同遗产。它们总是包含着表面上看不到的真理的种子。它们须经过深思熟虑和详细分析。所以，我敢肯定，柯尔莫戈洛夫教育方面的创造性遗产终会发芽。我们仅需要把这个遗产传承下去。

我只想和老师争论一件事：什么是“人才”。寻找能够设定伟大目标并将之实现的人，是全人类的一项崇高任务。但这是一个独立的、特殊的话题。安德烈·尼古拉耶维奇认为“人才”（原文是талант，英文大约对应talent）和“天赋”（原文是одаренность，英文大约对应giftedness）的概念绝对是有意义的。他写道：“人才、天赋，比如说，在数学研究、物理实验、新设备的设计并不是所有人都与生俱来的。努力工作难以比肩这种天生的能力”（Izvestia, 02/18/ 1962）。我一直觉得老师不应该写这种话。教育的目标是在每个人身上发掘才能：在每个人身上，都必须努力找到一些让他对自己的实力充满信心的东西，这样一个人就不会预先限制自己投身何种事业。数学学习恰恰为此提供了极好的机会，这也许是每个老师应该为自己设定的最重要、最崇高的目标。并且，事实上，柯尔莫戈洛夫，伟大的老师，正是以这种方式创建了他迷人的中学：不同的人进入了属于自己的轨道，他们中的许多人并不是“测试”人才（比如说，没有在奥赛上大放异彩），然而，安德烈·尼古拉耶维奇知道如何在他们的灵魂中点燃一团火，激发他们对于某个科学方向的责任感，他们因此成为这些方向的领导者，世界公认的权威。

而人才的概念本身仍然需要具体分析。我们的历史在这个话题上提供了很多有趣的东西。回到柯尔莫哥洛夫本人的话：“我们的国家需要大量训练有素、才华横溢的数学家......”并且他提议组织社团、奥赛......但让我们想想战后的最初几年。斯大林为这个流血、被几乎摧毁的国家设定了宏伟的任务：制造原子弹、弹道导弹、核潜艇舰队、超音速航空和完善的通讯。 这一切都需要数学家，许多数学家。但人选是如何确定的呢：通过问卷调查！有时这些问卷长达 28 页；例如，有一个问题是已故祖父母的坟墓号码是多少，以及许多其他类似问题，组织认为这对于评估天赋和人才“至关重要”。另一方面，在讨论班和奥赛上的成功并没有被考虑到——这与柯尔莫戈洛夫在宣扬他“发现人才”时所说的完全是两码事。结果呢？所有任务都已完成！制造了原子武器和热核武器，弹道导弹和卫星起飞，创建了强大的核潜艇舰队，我们的飞机不比外国最好的型号差。并且在通信和加密系统的开发中，我们取得了突出的成功。即使没有奥赛优胜的人参加，我们国家也实现了目标。这些参与者创造了时代。世纪之初，科学是个人主义的，它是由个别科学家——天才完成的。而在我们这个时代，大众协力推动了文明的进步，而实际上一个特定的问题是由整个国家体系上下协力解决的。因此，现在将这两个事业分开是合理的：寻找天才、创造家和伟大的苦行者是全人类的工作，让国家选择他们吧。而在每个人身上寻找才能是启蒙教育的最高尚和最宏伟的目标——我深信这一点。

2021-12-16补充：最近翻译了一篇Levin院士（曾在柯尔莫哥洛夫中学就读）的一篇文章Колмогоров глазами школьника и студента，Levin院士描述了柯大师的与中学生相处、讲课风格、政治风雨中为学生撑开保护伞，可参见 宋维凯HEOM：Levin院士：一个中学生眼里的柯尔莫哥洛夫老师

译者注：

1 柯尔莫戈洛夫于1966年当选为苏联教育科学院院士（full member）。与柯大师将最后的二十年献给他祖国的教育事业类似，我国的华罗庚先生把生命的最后二十年献给了向祖国的工农大众推广”双法“（优选法、统筹法），拖着残疾的腿，行程超过20万公里。他们是真跑哎，不辞劳苦啊。但如柯大师最后二十年的事业受许多同事和后辈的不解甚至粗鲁对待，译者在一次会议的茶歇期间，也听到过国内一位约莫40岁的教授评论：”华罗庚最后那些年不是做研究，简直就是个笑话“。

2 关于教育和人才，费曼在他著名的讲义前言中，引用过Gibbons的话：”教育之力量鲜见成效，除非施之于天资敏悟者，然若此又实为多余。“

该系列其他文章见：

WeLoveYouDick：译作——柯尔莫戈洛夫，我们之中的天才（4）：研究风格

WeLoveYouDick：译作——柯尔莫戈洛夫，我们之中的天才（5）：没有参与苏联绝密工作？

我的专栏：

柯尔莫戈洛夫的世界

谢邀。

刚才有人分享一个文件：《给5岁至15岁孩子出的数学题》，Arnold的大作。题目里面有要求证明Riemann zeta函数的欧拉公式，有庞加莱回归定理。。

说真的，国内中学数学教育，在理念上和高度上，和前苏联比真的差太远了。。当然现在俄罗斯的数学教育估计也比不了前苏联鼎盛时期。国内还是把中学教师当成一个“工匠活”，过分看重解题技巧的灌输，而不注重数学知识体系的完整性，不注重从更高的观点讲授。绝大部分学生接触到的都是初等数学基础知识，或者课外的基本就是数学竞赛那一套，在学校里面很难接触到微积分以后的数学——微积分也是两三百年前的数学了。。而前苏联，Arnold这种级别的数学大师，也愿意参与中学数学教育，设法为适合学数学的中学生提供尽可能好的学习环境，让他们能接触到近现代数学。

我就贴一下Arnold习题集的前言吧：

再分享一篇文章吧，跟俄罗斯无关，跟数学教育有关

---

  ffjet 网友的相关建议: 
      

最近Springer出了一个新的系列的教材叫做《Moscow Lectures》。有趣的是，这套书的前言介绍了苏联时期以及现在俄罗斯（主要讲了莫斯科）的数学发展，不妨看看俄罗斯人的观点：

莫斯科数学具有非常强烈而鲜明的特点。 它有几个原因，可以追溯到苏联科学组织的好的和坏的方面。在二十世纪，有一个名副其实的由俄国的伟大数学家构建的体系，而恰好只有几个数学中心是这些专家们所聚集的。其中一个主要的，也可能是最有影响力的，是莫斯科。

三点原因：

1. 政府的大力支持和科研职业的高度威望。这两点都与苏联的快速工业化进程有关。
2. 从事数学或物理学研究是极少数没有强制性意识形态内容的智力活动之一。许多可能在未来成为计算机科学家、历史学家、哲学家或经济学家（甚至艺术家或音乐家）的人都成为了数学家或物理学家。
3. 铁幕阻碍了国际流动。

这些是形成苏联科学结构的具体因素。当然，因素(2)和(3)更多的是消极的一面，不能真正称之为有利的因素，但它们基本上是与极权主义制度结合在一起的。如今，要想找到一个科学家希望这三个因素全部恢复原状，是不可能的。另一方面来说，这些因素也留下了一些积极而长久的成果。

许多聪明的科学家空前地集中在少数地方，最终导致了独特的 "苏联学派 "的发展。当然，其他国家也形成了类似意义上的数学学派。一个例子是法国的数学学派，长期以来一直取得一流的成果，而且在这里进行了广泛的合作。另一方面，英国数学界产生了许多突出的成就，但由于缺乏合作，未能形成 "学派"。事实上，作为学派，不仅是一大批紧密合作的个体，而且是通过学生与导师的关系紧密地结成的群体。在目前数学研究水平和数量都处于世界领先地位的美国，其人员流动的程度是非常高的，为此，美国没有苏联或法国意义上的数学学派。实际上我们不仅可以谈论苏联的数学学派，而且可以更具体地谈论莫斯科、列宁格勒、基辅、新西伯利亚、哈尔科夫等学派。在所有这些地方，都有杰出科学家的聚集，有大量的学生，定期举办研讨会。这些杰出的科学家们往往不仅仅是顾问和领导者，他们往往是更广泛意义上的精神领袖。

（接下来是更具体地介绍莫斯科学派）

莫斯科数学学派的一个特点是强调数学家必须尽可能广泛地学习数学，而不是为了尽快获得重要成果而专注于一个狭窄的领域。莫斯科数学学派在代数/代数几何、分析、几何与拓扑、概率、数学物理和动力系统等领域尤为突出。尽管这些地区在莫斯科得以发展的情景已成为历史，然而，考虑到全球化和科学流动等现实的同时，保持和以新的形式发展莫斯科数学传统仍然是可能的。最近成立的三个中心--莫斯科独立大学、国立研究大学高等经济学院（HSE）数学系和斯科尔科沃科技学院（SkolTech）高级研究中心--其任务是以新的方式加强莫斯科数学传统。HSE和SkolTech是提供正式许可的全日制教育课程的大学。这些大学的数学课程不仅遵循俄罗斯和莫斯科的传统，而且也遵循全球数学的新发展。HSE的数学课程受到莫斯科独立大学（IUM）的影响。莫斯科独立大学并不是一所正规的大学，而是一个不同大学的数学专业学生可以在这里参加特殊主题课程和核心课程的学习的地方。IUM是HSE数学系的主要发起者。如今，在这两所院校之间有紧密的合作。在试图进一步提升莫斯科数学传统强项的同时，我们并不复制以前的条件。我们不是孤立和学术近交，而是促进全球思想交流和国际合作。我们任务的一个重要部分是使大学层面上的莫斯科数学传统成为全球文化和知识的一部分。

P.S. 有兴趣的朋友也可以尝试一下这系列书（我只能读懂前言了qwq，姿势水平不够。。）

---

  shuo-shu-44-10 网友的相关建议: 
      

的确很强大，莫斯科数学竞赛的题很难。但是，俄罗斯为什么这么穷呢？说明数学跟经济发展没关系？还是苏联教育体制存在什么根本性的缺陷，导致数学再好也没用？

---