百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



数学中,有哪些方程和思想让你体会到了美感? 第1页

  

user avatar   kong-yue-6-19 网友的相关建议: 
      

考虑一个流形上的动力系统,比如球面上的向量场:

我们想问:空间(流形)本身的结构,到底在多大程度上限制了动力系统的行为?或者说,我们要回答,是不是:一个空间上,动力系统的行为是可以被人们随意设定、不受空间本身约束的?

答案是:否。

庞加莱-霍普夫(Poincare-Hopf)定理指出:空间本身的拓扑结构,就已经对定义在其上的动力系统可能的运动轨线作出了限制。在我的知识范围内,我始终认为这是我见过的最美妙的定理。

虽然,我平时根本用不到它,我跟它的关系远远不及随机数学、最优化理论那样亲密,但它带给我很大、非常大的美学享受,胜于其它任何一个数学定理。

比如空间的欧拉示性数是 ,空间中流淌着一个长这个样子的动力系统:

所有在 上的箭头指向 ,系统中间有一个,我现在想把这个源去掉,可以吗?

这时候,Poincare-Hopf 定理就会在你耳边回响、低语:“可以啊,凡人,但你需要保证指数和依然为 。现在空间中只有一个源,满足我的条件,但你不论怎么调整,都必须始终服从我的意志。”

我:“神啊,能再给我些启示吗?”

神回答道:“看吧:”

我:“哦,神啊,我懂了,系统的运动轨迹必须满足您的要求,只要按照上图给予的启示,我就可以从心所欲不逾矩了,比如改成这样就可以,是吧?”

您看,这样的指数和还是为 (两个指数 ,一个指数 ),这样就是可以的,对吗?

神:“孺子可教也啊,哈哈哈哈哈嗝”。

References(启示录):

【1】Andreu Mas-Colell,The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach

【2】J.W.Milnor,Topology from the Differentiable Viewpoint





————————————————————————————————————————

神侍者:“我们的面具也要满足神的意志”




  

相关话题

  救救娃吧!?这个数学题咋解? 
  空间中有多于一个的同种(比如都是正电荷)点电荷,如何说明此时一定有一点电场强度为0? 
  路径积分、重整化在数学上目前并没有严格的定义,为什么在物理学中却相当有效? 
  学习数学真的需要天赋吗? 
  这个定积分该如何做? 
  高中生如何自学相对论和几何? 
  请各位大神来看一下,我写的这份实数连续性的新证明是否有错漏? 
  如何思考这道定积分不等式? 
  中国在国际奥数比赛中,近些年几乎是压倒性的优势,可是为什么至今没有人获得菲尔兹奖? 
  除法的结果为什么被称为「商」? 

前一个讨论
设群G有一个指数为4的正规子群,则G也有一个指数为2的正规子群。这个要怎么证明呢?
下一个讨论
如何证明:A*=A,则A的特征根为实数?





© 2025-04-04 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-04 - tinynew.org. 保留所有权利