百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



数学中,有哪些方程和思想让你体会到了美感? 第1页

  

user avatar   kong-yue-6-19 网友的相关建议: 
      

考虑一个流形上的动力系统,比如球面上的向量场:

我们想问:空间(流形)本身的结构,到底在多大程度上限制了动力系统的行为?或者说,我们要回答,是不是:一个空间上,动力系统的行为是可以被人们随意设定、不受空间本身约束的?

答案是:否。

庞加莱-霍普夫(Poincare-Hopf)定理指出:空间本身的拓扑结构,就已经对定义在其上的动力系统可能的运动轨线作出了限制。在我的知识范围内,我始终认为这是我见过的最美妙的定理。

虽然,我平时根本用不到它,我跟它的关系远远不及随机数学、最优化理论那样亲密,但它带给我很大、非常大的美学享受,胜于其它任何一个数学定理。

比如空间的欧拉示性数是 ,空间中流淌着一个长这个样子的动力系统:

所有在 上的箭头指向 ,系统中间有一个,我现在想把这个源去掉,可以吗?

这时候,Poincare-Hopf 定理就会在你耳边回响、低语:“可以啊,凡人,但你需要保证指数和依然为 。现在空间中只有一个源,满足我的条件,但你不论怎么调整,都必须始终服从我的意志。”

我:“神啊,能再给我些启示吗?”

神回答道:“看吧:”

我:“哦,神啊,我懂了,系统的运动轨迹必须满足您的要求,只要按照上图给予的启示,我就可以从心所欲不逾矩了,比如改成这样就可以,是吧?”

您看,这样的指数和还是为 (两个指数 ,一个指数 ),这样就是可以的,对吗?

神:“孺子可教也啊,哈哈哈哈哈嗝”。

References(启示录):

【1】Andreu Mas-Colell,The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach

【2】J.W.Milnor,Topology from the Differentiable Viewpoint





————————————————————————————————————————

神侍者:“我们的面具也要满足神的意志”




  

相关话题

  根号 2 是无理数,每位小数都是 0~9 之间的数,为什么相乘之后全是 0? 
  随手画线段,其长度最有可能是有理数还是无理数? 
  一个点到两个定点的距离乘积为定值,这个点的轨迹是什么? 
  数学中的概率是有漏洞的吗?我随机在R中取一个数,取到1的概率为0,但也是有可能取到的,这是怎么回事? 
  圆周率的这个连分数展开式怎么证明? 
  如何证明这道不等式? 
  负数有没有阶乘,0 的阶乘为什么是 1? 
  你喜欢数学吗,为什么? 
  小偷能逃出无数个警察的包围圈吗? 
  多项式由系数唯一决定,在中学或大学数学课上证明过吗? 

前一个讨论
设群G有一个指数为4的正规子群,则G也有一个指数为2的正规子群。这个要怎么证明呢?
下一个讨论
如何证明:A*=A,则A的特征根为实数?





© 2025-04-02 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-02 - tinynew.org. 保留所有权利