头发上的漩涡可以弄掉吗？ 第1页

不少人的头发上总会有漩涡一样的结构，尤其是短发的朋友更为明显。这种现象在美容美发界称为发旋。发旋指的是毛流在头顶可形成一个中心向外，周围头发呈旋涡状的排列。毛干和皮肤呈一定的倾斜角。许多毛发的倾斜方向是一致的，就叫发流或毛流。

毛发的曲直与毛囊的形态有关。毛囊是圆筒状的，长出的发就是直的；毛囊的形状是椭圆或卵圆形的，长出的发呈波浪状或卷曲状，毛球的不规则生长也与头发波浪状的形成有关。发旋的方向和基因有着很大的关系。民间也有“一个旋拧，两个旋横，三个旋打架不要命”的俗语，当然，这也就是没有科学依据的玩笑话了。

有关发旋，却也有很多有趣而深刻的知识或者问题，比如：一个表面长满毛的球体，比如椰子，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗？

有关的数学物理研究表明，这是不太现实的。想要去掉这种漩涡，恐怕是不太办得到。下面我们就来简单了解一下与之有关的内容：庞加莱-霍普夫定理。

庞加莱-霍普夫定理的简介

以下是有关庞加莱霍普夫定理的介绍，其中涉及到一些简单的数学运算，当然有公式恐惧的小伙伴可以跳过，直接进入之后段落的科普性讲解内容。

庞加莱-霍普夫定理：

设 为 维 紧致流形， 为 上只有孤立零点的切向量场，（因而孤立零点只有有限个），则：

其中 是 的欧拉示性数， 是M的第 个贝蒂数，即同调群 的秩。

该定理的证明思路可以简述如下（因为是科普描述，就不展开证明了）：

我们不妨设 维 紧致流形 为正则子流形。 上只含非退化临界点 的函数 且：

如果 为 上只含非退化零点的任一切向量场，则：

一般地，如果 为 上只含孤立零点的切向量场，根据 的紧致性，孤立零点只有有限个： 。选取 的局部坐标系 ,使得 ， 为 中以0为中心 为半径的开球， 中只含 的孤立零点 。

令 为 。 是的且 。于是 ：

为 函数。 ,其中

令：

其中 为一固定向量（ 中 为 中常向量场）。在 中 ，它们零点相同。 紧致， 充分小时 在其中无零点。可以选择 为 的足够小的正则值。于是在 中， 只含非退化的零点。从而 在 中只含非退化的零点。由 为连接 与 的 同伦得到：

其中 为 在 中的所有非退化零点， 为不相交的小球，于是有：

反复应用上述过程可以得到，只含孤立零点的任一 切向量场 可以换为一个只含非退化零点的 切向量场 ，且：

由此即可得到庞加莱-霍普夫定理。

有趣的毛球定理

庞加莱霍普夫定理最初由庞加莱得到二维的情况，之后霍普夫推广到高维情况。利用这个定理可以得到许多有趣的推论，比如二维欧式球面上不存在处处非零的光滑向量场，也即球面上非零的向量场必然有零点。这个结论有一个很好玩的别称：毛球定理。通俗地说这个定理就是：一个表面垂直布满毛发的圆球上，不可能把所有毛发抚平。你不可能给一个毛茸茸的毛球顺毛。大自然在创造你时当然也遵循这个定理，所以你的头发在生长时就会有漩涡状的发旋了。当然，现实中去掉这个发旋倒是也简单。把“零向量”的地方搞成一条线：

或者干脆处处为零：

怎么样？想不想来一块时间宝石？

事实上，所谓的这个“毛球定理”也可以解释很多的物理现象。我们的地球就可以看成一个球体，地球表面的风速和风向也都是连续的。我们做出风速的向量场，根据这个定理，必然会存在风速为零的地方，这也就从理论上肯定了气旋的产生。风速为零的地方也就是气旋的风眼。

事实上，这种与拓扑学有关的自然现象还有很多。比如，你的耳机线就很容易打结，缠在一起难以解开，但是如果把线的首尾两端连接起来构成一个闭环，就可以有效减少打结的情况。具体的原理大家也可以进行一些更为深入的思考。