数学上一些现实的漏洞怎么解释？ 第1页

深刻的问题！

题主在这个阶段能提出这样的问题是经过了思考的表现。然而，这个问题要彻底说清楚需要相对深奥的数学知识(有些可能等到你大学才知道，还要选数学系)。所以我会忽略很多细节，只说结论。

首先，这是不是有漏洞？实际上没有。因为数学里0.0000...1这个数根本就不存在。

为什么？

这与「什么是小数」这个问题有关。现阶段，小数(这里只考虑不含整数部分的，即纯小数)可以解释为一串数码前面加一个小数点，再加一个零。那么问题就是：有没有一串数码满足前面无穷个零后面是一个1？

没有，因为无穷这个数是不存在的，说「无穷个零」已经错了。数学里如果要描述0.333...长什么样子，其实说「无穷多个3」是不够好的，之所以这么说只是因为这里没有逻辑问题，能被接受。最好是说「3后面总是有且仅有3」(理论上只有后者正确，但是我们可以完全形式化地定义，在讨论小数问题时，「无穷多个x」就是「x后面有且仅有x」；当然还有另一种形式的无穷多个数：1/7=0.142857142857...这里不涉及就不多说)。这样也只有「0后面有且仅有0」，这个1就接不上去了，因为说了「有且仅有零」了，哪里还有1？

*对于有一定数学基础的看官，可以想一下，凡是含「无穷」之类字眼的命题，是不是都可以替换成更准确的不含无穷的说法。

所以0.00000...1块蛋糕不存在。

那为什么会算出来这种诡异的结果呢？

因为我们的数位制有缺陷。自然数1既可以写成1，也可以写成0.9999...。所以按照数位制度计算时可能出现一些奇怪的问题。当然，更好的制度我们尚且还没有发现；而且这在数学上并不是主干问题，所以以后也不会有很多人去研究。

为什么无穷这个数不存在？

呃。。。实际上你说存在也是可以的。但是为了让这个数与已经有的数和睦相处，需要对数学作很大的改动，否则会破坏数学的规则。比如：假如有个数无穷大，叫做β。那么直观上无穷大加一个有限数还是无穷大，有：β+1=β，β+2=β。所以1=2？问题马上就显现了。所以无穷大数的运算不能随便定义。不过数学家们通过思考，已经发现有一种数学体系容许「无穷」存在，也允许0.0000...1这类的东西出现。但是我们现在学的不是这种数学，这种数学是相当困难和复杂的，并且与现有数学相差不小。

数学会与实际相矛盾吗？

准确地说，会也不会。你自己试一试会发现，过一个点只能画某条直线的一条平行线(点不在直线上)。这是人们几千年总结出的经验定律，也是我们几何的公理。但是有一个数学家罗巴切夫斯基，他说：过一个点可以画两条平行线。这不是胡说么？不过从这个假设出发也可以推出另一种数学。这种数学看起来没什么用，也与现实没有关系。然而，人类被自己的直觉欺骗了。你应该听说过爱因斯坦，他创建了相对论。通过他的理论，我们发现，在宇宙中有一些地方，空间是扭曲的，那里的几何正是罗巴切夫斯基的那种！严格来说，甚至我们周围的世界也不符合现在大家学的几何，只是近似程度很高，目前没有人能发觉。

星辰大海，无限美好。要探索它们，就要靠发达的数学。希望题主能够通过我的回答解决问题，并且看到一点数学背后蕴藏的东西。

(第一次做子供向科普，大家轻喷)

更新：

我看了一圈回答，只有我的回答提到了无穷数的运算，所以我猜测这句话指我。

首先，无论是不是说我，我劝题主友善。其次，无穷运算在一般体系里不合理我难道不知道？这是为了通俗易懂而作出的让步。要定义出合乎无矛盾性的无穷运算，需要引入另一套体系，即「超实数理论」。这个理论我懂得不多，但是我知道这个理论是定义了无穷大的运算的，解决方案是：不是只有一种无穷大，而是有很多很多不同种类的无穷大，其中一些无穷大更大。所以一个无穷大加或乘一些合适的有限数会得到更大的无穷大，就回避了前文的问题。还有一种集合论里定义的无穷大，通过集合的幂集(子集族)定义2的无穷大次幂运算的做法。

你知道的「基本」可不是什么基本。

数学远比你想象的要复杂，最好不要依靠你脑子里的常识揣测什么东西，数学里常识都是sh*t。

二更：相对论那里是黎曼几何不是罗氏几何，我错了。。。 我向全国人民谢罪。。。

三更：之前有人说想看「非子供向」，本来我不想写，因为懒。。。不过最近有了点兴趣，就写点R18(划掉)相对硬核的数学内容吧。

warning:下文涉及非标准理论，不要让这些理论影响了平时对这些问题的认知。最低的数学知识要求：高中。对数学公式、定义、证明等有严重不适感的读者到这里可以不用看了。

首先，数学是纯形式的，我们想定义什么就定义什么。所以，现在我们试着去建立一个体系，使得「0.000...1」这种「无穷小/大的数」能够存在。

通常的实数是不够大的，我们定义超实数。(这个历史上已经有人研究过了)

一个超实数是指一个无穷实数序列 。(这里「无穷」同样也是可以替换的)通常，记作 。规定通常意义上的实数 与 是一样的。超实数的运算是容易定义的，只需要逐项运算就行。比如： (这就是前文说的「无穷大+1」)。

麻烦的是怎么比大小，如果要使任意两个超实数都可以比大小，设计这个序关系是非常困难的。数学家提出了一个概念叫滤，它是一个集合，集合的元素是一些 的子集。假设它叫 。对于任意两个超实数 ，设集合

如果 ，则说 ；类似定义 。这个看起来容易，做起来却难：如果 同时成立怎么办？所以滤的设计是一个大难题。至今只证明了滤的存在性，而没有具体构造出来。不过一些滤的性质还是可以得到，比如说有一个滤使得：如果对于充分大的 有 ，则 。这些性质推动了无穷大和无穷小的建立。比如如果一个超实数的绝对值小于任何常义实数的绝对值，则称其为无穷小。(绝对值就是逐项取绝对值啦～)类似可以定义无穷大。这样就可以给一些本来没有的数以解释：(注意，它们在原来的理论中依然不存在，是我们生造出来的)

这是一个无穷小。

这是一个无穷大。(正整数集合的元素个数)

就酱。(