实分析其实最好过一遍测度论,甚至你看了严加安的测度论就没有必要看实分析了,测度是现代分析和概率的基础,必须学深了,严加安那本书除了拓扑空间上的radon测度外,其他都过一遍就差不多够了。(radon测度主要是后面dirichlet型理论需要在一般拓扑空间上构造右过程和hunt过程)另外,测度论里面的条件期望什么的必须滚瓜烂熟了,鞅的定义就是基于这个。然后还有一点,l–s测度最好也要比较清楚(严加安那本书也会讲,实际上就是R上的radon测度,这个可以结合实分析来看,因为l–s测度跟有界变差函数,增函数有着密切的关系),随机分析里面要求被积函数平方关于右连续过程对应的l–s测度的积分有限,这一点会涉及到。它是R上概率测度和勒贝格测度的推广。所以测度论是非常基础重要的。如果实在懒,过一遍北师大的测度与概率也差不多了,该讲的里面也都会讲。
然后泛函分析其实把张恭庆泛函分析上册过一遍其实够了(如果实在懒,就学完第一部分,至少知道度量空间,banach空间和hilbert空间吧),不学这些直接学随机分析的话,有点像不学测度论直接学概率论,有种便秘的感觉。学了泛函分析你更好理解ito积分本质上是L^2空间到L^2空间的保范线性映射,你知道保范自然就记住ito积分平方的期望是多少了。而且布朗运动的构造其实跟泛函分析里面的弱收敛很像,它用的是概率论里面的弱收敛,构造了wiener测度,很多随机微分方程理论(如鞅问题)需要用到这个特殊的构造。
其实随机分析最好过一遍shreve的布朗运动和随机计算那本书,那个虽然有点难,但你如果用oksendal的话学完只会计算,但很快就忘了这个体系,以及很多东西那本书是讲不清楚的,比如一个过程关于布朗运动的ito积分它可能不是L^2鞅,而是局部鞅,但oksendal只定义了鞅和关于布朗运动的积分,它里面的ito过程其实是半鞅,就像明明一个三维的东西,用一维来解释,当然说不清楚了。
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