量子力学中引入虚数 i 的深层意义是什么？ 第1页

↑ O(2n) ∩ Sp(2n, R) = O(2n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(2n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) 。U(n) 是 GL(n, C) 的极大紧子群。

所以GL(n, C) 这个复数域上的群是能把或者说是恰巧把概率守恒和运动描述耦合在一起的一个数学结构，或者说量子力学运动规律自然具备的一个数学结构。即使在符号上不引入虚数单位 I 和复数集 C 而只用实数表达，在结构上也不能避免一个与 C 等价的要素。U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) 恰好是 GL(n, C) 的极大紧子群。

如果用矩阵力学的表述具体一点说，量子力学演化算符在矩阵表述下是厄米矩阵，因为观测值是演化算符的矩阵本征值，必须为实数值，所以演化算符必须是厄米矩阵。如果把厄米矩阵实部虚部分开写，实部是对称矩阵（对应O(2n)群），虚部是反对称矩阵（对应实数域的辛群 Sp(2n, R)），而复数域的 GL(n, C) 结构正是把这两部分始终耦合在一起的数学结构。所以即便不显式引入虚数单位 I 和复数，复数定义和运算规则所带有的特性还是蕴藏在量子力学的运动规律里的。

补充：还有一种视角是从代数角度看，传统的量子力学教材不讲很多抽象的数学，一般引入希尔伯特空间的概念，后面就说的基本是波动力学、矩阵力学这些具体表示下的物理和计算了。（有一本例外 Haag, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras）。像「代数量子力学」这种提法，估计只有专门研究数学物理的学者才会深究的。看到这几篇参考资料：

• Algebraic quantum mechanics: http://www.math.ru.nl/~landsman/algebraicQM.pdf
• Jordan-Lie-Banach algebra's equivalence to C*-algebra
• Baez, What is C*-algebra good for?

参考：

• 捷克物理學家 Luboš Motl 正好有篇文章解釋複數在物理學中的地位 〈Why complex numbers are fundamental in physics〉裡面解釋了虚数单位 I 不是人工创造的，而是量子力学算符对易关系自动要求的。
  
• Unitary group 2-out-3 property
• quantum mechanics without imaginary numbers
• algebraic quantum mechanics: http://www.math.ru.nl/~landsman/algebraicQM.pdf
  
• Jordan-Lie-Banach algebra's equivalence to C*-algebra

2022-1-12 补充：

最近新出了一篇论文，用“升级版贝尔实验”从实验上证明了只有“复数量子力学”而非“实数量子力学”才能解释实验现象。

... by proving that real and complex Hilbert-space formulations of quantum theory make different predictions in network scenarios comprising independent states and measurements. This allows us to devise a Bell-like experiment, the successful realization of which would disprove real quantum theory, in the same way as standard Bell experiments disproved local physics.

论文：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4

新闻稿：Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified - Nature