有哪些反直觉的数学现象？ 第1页

在数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如2维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

3.皮亚诺曲线

皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维， 正方形是2维。

1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano G）发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t）和y=g(t），使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。

一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。

这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。

此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线， 就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。

（总之这个概念看了我好久........=.=）

现在我正在看所有自然数相加=-1/12的那个...

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我说一个之前看到过的有意思的问题好了。

下

和

两个人的回答

@常雅珣 的回答：

我这里列举的是一个其他形式的。
Gabriel's Horn是y=1/x在[1,+∞)上的图象沿x轴旋转一周所产生的的旋转体。

使用高数中常见的旋转体体积与面积公式，可以得到：

so~~~~~~面积无限，体积有限。
这个图形经常被看做是一个悖论，从内部灌满只需要有限的油漆，而在外表面刷一层无论多薄的油漆层都需要无限多的油漆才能完成。

@冰火王者 的答案：

小数维自相似结构可以实现
将一个立方体等分成27份小立方体，移去每一面中心的小立方体和最中心的小立方体。
将余下的每一份小立方体重复以上操作，经过无限次可以得到一个介于2D与3D之间的物体，具有无限的表面积。