光是如何知道哪条路线最快的，费马原理是不是违背常理呢？ 第1页

关于这个问题我看了下费曼的解释，不过他用到了量子观点，用的工具可能大家也不题主不是很熟悉，在体会到他的精髓后我就试着用波动光学解释下为什么光总能找到用时最短的路径从A到B吧。

其实光线并不是真实存在的。

无论是波动理论还是光子的理论，光从光源出发到被照亮的区域其实并非沿某一路径经过。那么A点照亮B点是怎样的一个过程呢？

根据惠更斯原理我们可以认为是A点发出的电磁波到全空间，而B点的电磁场是受到了空间各处电磁场的影响。或者说A点发出的空间其他地方的光场，成了与A点无异的次波源，而B点是受这些次波源影响的。

如果把光认为是大量的光子组成，那他也不会有一个特别的路径。光子并非我们平常看到的粒子，它是量子，按照费曼的路径积分理论光子从A到B的过程是经过了空间各条所有可能路径的求和，即使是单个光子也是如此，跟波动的观点很有异曲同工之妙（不过这也时必然的）。量子的观点就不再后面赘述了。主要是从波动的观点解释。

既然光从A到B没有一个特别的路径，那么费马原理里面所说的光线又是指什么呢？

确实是这样，就算没有费马原理，我们也会感受到光是从一条线射过来的。假设A光源照亮了B，这时我们用一个很大的挡板将A,B隔开，B当然不会接收到A处发出的光。这时我们在挡板上开一小孔。一般情况下打开小孔后会出现两种情况，一种小孔开在M点，B处没反应；另外一种较少的情况，小孔开在N点，B处被照亮了。这时我们认为从A到B的光线不通过M点而通过N点。假设在空间中有许许多多这样平行放置的挡板，那么光线就是这些挡板所开使B点被照亮的小孔的合集。反过来我们看如果没有挡板，如果有一不透光的小片只挡住了N点，那么B点就不被照亮了，而只挡住了M点的情况下，B点不受影响。也就是说N点的光场不能影响到B,光线上的光场能影响到B。

图(1)

而根据费马原理，开小孔的位置必然使从A到B的光路运行时间最短（最长或者稳定，暂且不深究这其中细节）。或者说能影响到B的光场的路径是使得光程最短的。这样我们就把光路径的问题转化为了小孔的问题。

那么费马如何起作用的呢？或者说为什么使B点照亮的小孔位置刚好在使得光程最短的路径上。

再小的孔，它也是有大小的，如果只是开一个无穷小的孔，即使这无穷小的孔在抽象的光线上，B点也是不会亮的。B点受到的全部电磁波全部来自于小孔处。现在我们取在光线上的小孔N和不在光线上的小孔M，看这两处的电磁波是如何影响到B点的光场的。

图(2)

联系图(1)，我们看看挡板的位置与光程的关系。

图(3) 纵坐标表示了从A到B的光程

A点发出的场到达B点时，它振动的相位是跟光程有关系的，或者说跟光飞过来所需的时间有关系。

相较于光程最短的N点，比较不特殊的M点有一个特点就是其中各处光程对于小孔变化有一个连续增大或减小的过程。而N点各处的光程变化是很小的。而这就是N点的光场能影响到B点的关键所在。也就是他的斜率才是问题的关键。

可以看到斜率为0的附近，其光程的变化是非常缓慢的，那么传到B处的光振动的相位也基本相差无几，这些光的振动互相之间加强，使得B点总体有了电磁波的振动。而有斜率的M点附近，他各处都有着不同光程，即使小孔很小，但由于光波长更小，所以这光程对光波振动具有较大相位偏移。这样从M点来的光振动相位是连续变化的过程。

图(4)

相位连续的变化使得对B点有的让他向上振动，有的让他向下振动，最后总的效果就消失了。

关于相位变化造成的影响有更适合的数学工具（矢量箭头）更严密地分析，不过大概也就上面这个意思。

到这里事实已经很明白了，使得光程斜率为0的附近位置的光对接受点的影响是最大的，因此它被认为是光线通过的位置。而斜率为0位置影响最大的原因就是其附近的光到接受点的相位都差不多，使得振动没有被削弱。这便是费马原理的作用方式。而有一定光程-路径斜率的地方附近的光总是在互相削弱，使得最后这些地方的场对接受点没有影响。（其实并非完全没有，有的地方通过积分可以遗留出一点加强的振动，因此在一定条件下我们开孔不在N点而在某个特别的位置仍然能照亮B点，在波动光学上B点可以看做是这个特别位置的次级衍射斑，它不符合费马原理）。

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1. 我们看到上面的N点的特殊在于其光程在附近路径中的变化率为0，而费马原理也提到的是光程最短、最长或稳定，而不仅仅是光程最短，两者刚好符合。
   
2. 害怕有人搞混还是想提一下，光程不等于路径长度，而等于路径长度乘以折射率，因此它跟光传播的时间成正比。
3. 从上面的解释也可以看出为什么波长越短粒子性越好，而声音具有较长的波长，它的传播不满足费马原理（经常可以拐弯）。
4. 费曼的路径积分原理试图解释了一些量子力学的现象，实际上路径积分跟上面的即使已经是很接近了。费马原理是最小作用量原理，量子的最小作用量原理可能跟费马原理有着深刻的联系，甚至连经典力学中的哈密顿原理我猜他们都有可能有着本质上的联系。还没学到那么深，具体不了解什么情况。
5. 总地来说，从A到B的光是可以有无数种可能路径的，只是那些不符合费马原理的路径来的光对B是没有效果的，原因在于跟旁边的路径的光互相抵消了。
6. 上面说明几何光学中的光线是什么，以及用小孔的位置标明光线的路径的过程并非多余。当我们伸出手放在某个合适的位置时，光会被挡住，这会让我们认为光是沿某一路径过来的。但事实要比我们认为的要复杂一点。激光束或者电筒束照亮的区域也可以代表光线，但本质用小孔位置来代表是一样的。起初我想用泛函与变分解释这个问题，突然想到这样不能很好地说明问题，因为那时光线是什么还没搞清楚，才想到用小孔的位置来标示的。

谢邀。

这是个蛮有意思的问题，原因其他人已经解释清楚了，不再赘述。这里讲一个感觉很好玩的事情，其实不仅仅是光，就连生物体的行为都会满足费马原理，不信看这张照片：

研究人员把食物放置在离蚁巢一定距离的位置，蚁巢与食物中间要经过光滑和粗糙的两个区域，火蚁在两个区域行进的速度不同。大家发现火蚁在搬运食物的路径并不是一条直线，而是有一个弯折，正如同光在两个介质空间中发生的折射，最初蚂蚁的路径是随意的，但最终会逐渐收敛到这条“最优解”。这使得蚂蚁能够以最快的速度往返巢穴和食物之间，恰好满足费马原理。

所以说呀，每次遇到这种事就不禁感慨，大自然真是神奇，请受我一拜。

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