你见过最巧妙的物理推导是什么？ 第1页

写一个经常在教材和科普适中十分巧妙而且易懂的相对论钟慢效应推导过程，当时和女朋友看完星际穿越之后还用了这个推导给她解释了钟慢效应。

有初中几何知识的人仔细看都应该能看懂，希望大家都能从中窥得物理之美。

首先明确一个狭义相对论基本假设：在任何惯性参考系中，你观察到的光速不变。

为了衡量时间流逝的速度，我们需要构造一种时钟：

上下两面是平行的完美镜面，间距为D，有一个光子在其中震荡。

因为光速是恒定的，所以无论你在哪里，只要手里拿着这个时钟，计数光子来回的次数，就能够知道时间过了多久。也就是说光子运动周期可以作为一种时间长度单位。很容易看出，光子运动周期为。

现在，假设有一个人手拿着这个时钟，向右方以速度 v 匀速运动，而你静止在地面上观察这个人手里的时钟(你也可以理解成拿着钟的人没有动，而你向左以速度v运动)。这个时候你看到的光子的运动周期是多少呢？

如下图所示，当两个镜面和光子组成的钟一起处于匀速运动的状态，光子在你眼中走的路径从一个直线上来回反弹变成了z字形反弹。路径长度也会因此有所增长。设在你眼里，这个光子运动周期是

如图所示，当光子经过一个反弹后，会向右水平移动距离

从图中也可以看出，光子反弹一次实际运动的路径是两个直角三角形的斜边，由勾股定理可以得到，在你眼里光子反弹一次的路径长度是

别忘了我们的基本假设，你眼里光子运动速度永远是光速 c ,所以光子走过上面那段路径的时间，也就是你眼里的光子运动周期 T1 ，应该是路径长度除以 c 。

这是个一元二次方程，可以解出 T1 ，得到

这就是著名的相对论钟慢效应，你看到的周期 T1 相较于手持时钟的观察者看到的周期 T0 之间相差了一个 的减慢倍数，v越大这个值越大，你眼中的运动者手中的表周期越长，他相对于你的时间流逝速度就越慢。

当v接近c时。这个倍数接近0，也就说在你眼里，运动者的时间近乎完全停滞了。

注：很多人提到改变光子运动状态的问题。这个推导里不涉及将时钟由静止开始加速的过程。你可以理解成运动者到达匀速运动的状态之后再释放光子打开这个时钟。也可以理解成观察者自己向左以v速度运动，来观察这个时钟。

Baker-Hausdorff恒等式的证明。

按照传统的套路，我以为会把指数函数拆成无穷级数，然后根据对易关系，利用数学归纳法一项接着一项去证明。费时费力还没证出来。

结果看了答案后才发现：我想多了，把它写成含参数的形式，利用泰勒级数展开就行了.....