如何描述二维物理体系的边缘态？ 第1页

谢谢 @paid Pay ，不知道现在回答还有没有用。简要地，我们梳理一下处理问题的逻辑。

1、把二维相互作用物理体系和磁场耦合在一起，做出一些变换，给出一个Chern-simons作用量，然后把费米子部分HS变换掉积分掉费米子场然后做effective field analysis。（凝聚态的作业题）

2、发现得到的有效作用量(Chern-Simons term + 能量)在周期性边条件下是规范不变的，然而在有限大的格点上不是规范不变的，因此我们的有效作用量在有限大的格点上不能得到理论所有的信息，为了构建边缘态理论，我们现在添加一个边界作用量，对于场量依然是二次的，根据规范不变性的要求我们可以得到流关联函数（也就是边界作用量二次型的核），进而发现边界上的流满足KM代数——我们看到无论是IQH和限制性的FQH态都可以用费米液体理论去描述了。（文小刚著名的工作）很显然在一维，这是一套用玻色化的语言去描述边界的动力学。

3、无相互作用的理论是二次的因而非常的简单，由于哈密顿是exactly solvable的，直接的办法就是去找守恒量，接下来我们只考虑离散的情况，找一个合适的gauge，发现H只和一个方向的离散平移算符（动能算符）对易，而和另一个方向不对易，那么就沿着一个方向（例如y）去傅里叶变换然后映射到一个含（ky）参数的1D模型。解1D模型这下子就是一个作业题了，转移矩阵、追赶法一票方法都可以。连续情况相对来说就是大家上课学习的：求解本征函数拿slater套一下即可。

最后，随手写个最短的，方格子在磁场里的。

       M=100; alpha = 1/5; tx = 1; ty = 1; step_ky = 100;  ky_list = linspace(-pi,pi,step_ky); eigen_list = zeros(step_ky,M); for i = 1:step_ky     temp = create_H(M,alpha,tx,ty,ky_list(i));     eigen_list(i,:) = eig(temp); end plot(ky_list,eigen_list,'.k','MarkerSize',1,'MarkerFaceColor','k')  function H = create_H(M,alpha,tx,ty,ky) d = zeros(M,1); d1 = -tx*ones(M-1,1); for m = 1:M     d(m) = -2*ty*cos(ky  - 2*pi*alpha*m); end  H = diag(d) + diag(d1,1) + diag(d1,-1);  end     

最后我们考虑一个有限大小的格子，那就是一个TB模型，三四行代码就可以了。。会发现bulk(也就是浓密的本征谱)里面还可以混着一些稀疏的态，那些边缘态了，不信你把相应态矢量对应的密度分布画出来。

有了这样一个入门，相信做其他的二维体系，更加复杂的情况，都是更加容易的了，这个答案就当抛砖引玉了。

参考佟大为的QHE lecture note，格点二维+磁场入门可以看Aidelsburg非常棒的一个博士论文。

看了看别的答案，发现自己说了一堆detail没有说最重要的。就是怎么去看symmetry, topology和edge-bulk correspondence..... 对于二次的体系这个已经比较清楚了,我也是挑简单的办法去说。由于这个体系可以用平移对称性map到一个含kx,ky参数0-D量子系统(所谓的单粒子图景)，而0-D量子系统的波函数与参数所在空间的拓扑，可以简单的用wilson loop去看，这其中就诞生出了很多拓扑不变量，而边缘态就可以发生在拓扑不等价的两个2D体系之间。

我们举一个最简单的例子，从准经典的图景，这些拓扑数标志着电子怎么转: 因为在参数空间中，我们有 ，其中B是波函数的curvature，符号不同，打转方式不同。

最后加上拓扑，陈数之外就得更加的细分了, 如果有TR，C = 0，但是我们进一步可以定义spin C（无耦合）和Z2，这就进入了拓扑绝缘体理论了。

经过提醒，程序中的M不宜取100，应当取137之类的数字。