如何理解金属电子论？ 第1页

最开始，我们没有量子力学的时候，我们只知道大量的自由粒子（无相互作用如气体）是服从麦克斯韦玻尔兹曼分布的，这是一种完全经典的分布。Drude觉得，我们金属的导电能力这么高，应该就是最外层电子几乎不受核的束缚，另外电子之间也没有相互作用，因此也可以把他们看作气体，用麦克斯韦玻尔兹曼分布处理。这就得到完全经典的Drude模型，它能够大体上预测简单金属的电导和比热，但是在低温时与实际相差比较远，这个问题困扰着物理学家们很多年。

然而，不久之后我们有了量子力学。泡利不相容原理和费米狄拉克分布的提出昭示了固体中的电子其实不能按照麦克斯韦玻尔兹曼分布，是按照费米狄拉克分布。这两个分布的关系是，高温极限下，费米狄拉克分布就趋近与麦克斯韦玻尔兹曼分布，然而在低温下几乎完全不同。换成了费米统计，在低温下的电导和比热有了很好的符合，然而这只是想波尔模型一样的半经典模型。

再后来，量子力学大成。布洛赫觉得不考虑金属中的离子太不靠谱了，因此决定把核看成不动正电背景，提供一个周期性的正电背景的势场。此时电子就不像在上面的两个模型一样在真空中运动了。它们是在一个正电调制下的势场里运动，不过同时，我们仍然认为电子之间没有相互作用。这就将固体里的电子运动问题，转化成单电子在周期性正电背景下的运动问题。如果将这个薛定谔方程的本征解变化到倒空间，那么就会出现能带。

能带告诉我们波矢 和能量 的关系，即告诉我们电子怎么运动：有的电子像是变重了，但是运动规律几乎没变化（ 和自由电子类似，不过 变成了有效质量 ，有的变重了，有的变轻了，而且有效质量也是 的函数，在不同倒空间位置上有效质量也不一样），但是有的电子变成了像光子一样的运动模式（比如在二维六角晶格中的 ，不错此处的 要比光速小得多）。同时能带还告诉我们，可以通过有无带隙和带隙的大小来判断是金属、绝缘体还是半导体。

再往后的发展还有，考虑了电子之间相互作用的Hatree-Fock模型，考虑电子之间交换关联能的DFT，还有考虑电子轨道耦合的，考虑电声子耦合的诸如此类。总而言之，固体量子研究的进步，就是从最简单的索末菲的自由电子气模型（无任何相互作用），一步步地添加各种相互做用，逐步地解释越来越多的现象。