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设σ(n)是n的所有正因数之和,如何证明存在无数个正整数n使得σ(n)是完全平方数? 第1页

  

user avatar   heng-guo-lai-shi-gong-30 网友的相关建议: 
      

首先熟知 为一积性函数

我们考虑找一种形式十分简单的 来使 为完全平方数, ,这里 是不同素数。

考虑素因子分解 , 为不同素数,

为完全平方数实际等价于

大致思路如上,考虑放到 上的向量空间里找线性关系做

取一个 ,考虑不大于 的所有素数 , 的素因子分解中出现的素数 满足 ,记 为全部素数。

为完全平方数等价于

对 ,若 , 中一定有一些向量有非平凡的线性关系,从而表现为 的一个非零子集和为0。也就是说取 , 为完全平方数

根据素数定理, ,从而

假设我们已经找到了 使得 均为完全平方数, 为它们的全部素因子集,找充分大的 ,使得 ,取 ,应用此前证明找到一个 与之前的数均互素,且因子和也是完全平方数,重复这个过程就能找到无穷多个数使得因子和是完全平方数


大概一般的来说换成 为k次幂都是可以做的,但是就需要一些更加精细的操作,这种估计已经完全不够了


user avatar   nayilus 网友的相关建议: 
      

首先如果 互质,那么

可以通过定义得到:

设 , ,其中 为第 个质数, 对于任何 , 中至少有一个为0(不然 有公约数 )

那么 ,

在 或 为0时显然成立


取一个任意的正整数 ,设 为使得 的最小整数,假设 。很明显当 时, ,

现在看 。

求 的所有质因数中最大的数,并取 大于这个质因数,则的所有质因数都小于 ,而因为 的质因数必然小于 , 的所有质因数也都小于 。

因此,所有 , 的所有质因数都小于 ,可以表达为

把中间所有的指数 列出可以组成一个 的矩阵。

可以把矩阵

根据奇偶表示为

其中 且

考虑由0和1组成的域F2下的线性代数,因为行比列多1,所以 行必然在F2下线性相关,即存在不全为0的向量 , 使得

由此可得

的每一项皆为偶数

于是

为完全平方数。


换句话说, 满足 为完全平方数。而 里所有的质因数次幂 都大于 。

现在我们可以取 ,并同样获得一个 满足 为完全平方数,且所有质因数次幂都大于 ,显然 。以此类推,满足 为完全平方数的 有无限个。




  

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