UMVUE（一致最小方差无偏估计）的求法是什么？ 第1页

一般来说：

第一步：

寻找充分完备统计量：

充分性（Sufficient）：利用Fisher-Neyman Factorization Theorem寻找充分统计量T，然后证明其完备性；

完备性(Complete)：如果随机变量是指数分布族的话，并且参数 , 包含一个在 的开集，那么可以利用指数分布族的定理证T的完备性。

如果不是的话，利用完备性的定义证明:

（某个套路：求出T的概率分布，然后假设一个符合上述条件的函数g，写出 ，然后对 求导，证其导数为0，从而证出g(T)=0 a.e.）

第二步：寻找只和充分完备统计量有关的无偏估计量 ，根据Lehmann-Scheffe Theorem, 即为UMVUE。

方法一：直接求解法，假设 , 是你想估计的参数，直接求解g。（套路：已知T分布, 且 ，可以对 求导，令导数为0，求解得g）

方法二：例如楼主的题目里的例子，我们可以很轻松的找到 的无偏估计量 使得 . 通过Rao-Blackwell Theorem, 也是无偏估计量，并且只与充分完备统计量有关，所以g(T)即为UMVUE.

求解g时，可能会用到:

Basu's Theorem: 如果T是完备统计量，那么T与所有辅助统计量(Ancillary)都独立。

如果随机变量的分布是Location Family时， 均为辅助统计量;

如果随机变量的分布是Scale Family时， 均为辅助统计量。

这是我求UMVUE的套路...