首先明确一点。 波函数并不一定总是处于能量的本征态。但是波函数一定可以由本征态展开,这一点是通过哈密顿量本征函数的正交完备性保证的。
最简单的例子就是方势阱。
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容易找到一组波函数
其中 是归一化系数。这样的一组波函数是正交的 ,完备的 .
考虑薛定谔方程
我们总可以有 , 这里 可以通过正交完备性求得。(Hint:计算 .
你看 是波函数,但是它并不是哈密顿量的能量本征态。
题主在阅读本答案后建议完成习题:
至于为什么波函数需要是完备的。
参考