为什么波函数总是处于能量本征态？ 第1页
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首先明确一点。 波函数并不一定总是处于能量的本征态。但是波函数一定可以由本征态展开，这一点是通过哈密顿量本征函数的正交完备性保证的。
最简单的例子就是方势阱。
.
容易找到一组波函数
其中 是归一化系数。这样的一组波函数是正交的 ,完备的 .
考虑薛定谔方程
我们总可以有 ， 这里 可以通过正交完备性求得。（Hint：计算 .
你看 是波函数，但是它并不是哈密顿量的能量本征态。
题主在阅读本答案后建议完成习题：
- 确定 中的归一化系数 。
- 证明 是正交完备的。
- 现有
- 确定常数 和 的值
- 计算 ， .
- 确认 是薛定谔方程 的解(是波函数)，但不满足 （不是本征函数）.
至于为什么波函数需要是完备的。
参考
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