谢邀。
我曾经悟出一个很形象的关于维度的说明,这个描述的本质是拓扑的,但很可惜,后来我知道这不是我的首创。先来举三个简单的例子。
例 1
在数轴这个度量空间上,选取两点 和 ,以 为球心,以 为半径作球 (这个球的闭包在 1 维空间中就是区间 ,类比一下圆、球的定义);很显然 将 和 分离,换句话说,从 0 到 2 不存在这样的连续曲线将两者相连:
但是,如果我们把第一个条件去掉,结果就不成立了,这是显然的:将数轴放在一个平面上,而区间在平面上并不是封闭的,0 点不再是笼中鸟,飞的时候只要不故意碰壁——区间端点,绝对能逃脱成功!
千言万语汇成一句话:
一维的牢笼要从二维空间中逃脱。
由例 1 的启发,我们将这个结论类推广到平面上。
例 2
孙悟空要去化缘,但是担心白骨精诱惑唐僧,于是在地面上画了一个圈,并且说:只要不出这个圈,妖精不会拿你怎么样。
问:唐僧如何主动送人头被白骨精吃掉,在不踩到悟空画的圈的前提下。
答:抬脚迈一步。
好了,我想你明白了什么。
例 3
问:孙悟空被银角大王收到了葫芦里怎么办?
答:元神出窍进入四维空间绕出去,找太上老君帮忙。
归纳总结
如果是 n 维球内的点,如何不碰壁逃到球外呢?结论就是,在现有的 n 维空间是不可能的办到的,而只有引入新的维度,原本“封闭的”的球空间在新拓展的空间中才是“开放的”,这就是维度的特点和意义。只要给定 n 维空间,就可以引入 n+1 维空间,有了这个假设,那么只要定义 1 维空间就可以了,而前三个空间的引入我们在前面已经叙述完毕(也可以从定义 0 维空间开始)。看得出,我走的是数学归纳法的流程。
并且这种理解方法与“维度”字面意思深深契合:“维”,维系、连接之意;“度”,度量、程度之意。
鸡汤预警
……其实人生也是这样,当你被现实困在牢笼中的时候,不要灰心绝望,其实是你看待问题的维度太低,只要多想想其他方面,或许你会豁然开朗,看到来自另一个维度的曙光,化不可能为可能。而人生,本来就是不断突破固有维度的过程。
从低维看高维
有一次,我和女朋友逛商场,地面是一块块方砖,我的手影被天顶的灯垂直投影到一块方块内。我想,假如此时将每一块方砖想象为一间间密室,那么我的手影被困在里面,密室内的人(假如有人的话)也是这么认为的。我缓缓地移动手影,令人惊心动魄的事情发生了,在密室内的人看来,我的手直接穿过了墙,到达了另一间密室(其实是手影穿过了墙,但在密室人的眼中,手影就是手的本体,因为密室人完全看不到第三个维度)。
那么,如果是一个四维空间的人,想要穿梭密室,而在我们三维空间的人眼中就是在穿墙,贞子差不多就是这样的操作。并且,如果我们想要攻击四维人,很有可能打的仅仅是他的影子,他躲进第四个维度里就可以了;而他想攻击三维人的时候,只需要悄悄从第四个维度靠近我们所在的超平面——三维空间,然后接触我们,而在我们眼中就是影子“实体化”的过程(空间忍术)。并且最可怕的是,四维人想要在三维空间行凶,根本就不存在所谓的“密室杀人”,密室只是相对于我们而言罢了,金田一怕是给跪了。
温馨提示:以下是选读内容,如有不适感,请勿见怪。
其实空间、维数的概念不仅仅停留在具体三维的空间中,事实上数学、统计、物理等学科讨论的空间往往都不再是我们平常的空间,而是与欧式空间“等价”(同构)的空间,把这些性质相同的空间抽象为一个方便大家使用的工具,这是数学家的本职工作。
从共面到线性相关
在中学阶段我们就接触过有关向量的概念:不仅有大小,并且还具有方向的量,比如说力、位移、速度、加速度、动量、冲量……向量是他们共同的名字。向量可以进行加法、数乘两种运算,我们把所有的向量配备上这两种运算(八条公理)构成的集合,称为线性空间(向量空间),如果还配备了角度(内积)的概念,我们称之为欧式空间。
在线性空间中,引入维数这个概念之前,需要介绍线性相关这个概念,它是关于一组向量满足的简单关系,用几何的概念去理解,就是所谓的向量共线、共面概念的推广。比如,
它们的共同点是:
以上两个现象用数学公式表达,就是这个样子:
等价于:
其中 是实数域中不全为零的系数。
好,大儿子叫金吒,二儿子叫木吒,三儿子应该起名叫做——李狗蛋?将共线、共面的概念推广到 维空间,就是——
定义
有 个向量,如果存在 个不全为零的实数,满足下面关系:
那么,我们称这 个向量线性相关;否则,如果不存在这样 个实数满足上面关系,那么我们称这 个向量线性无关.
根据定义,只有一个向量线性相关时,那这个向量一定是零向量。
几何意义
个向量线性相关的几何意义,就是这 个向量全都可以通过平移,放到 维空间中的一个 维超平面内。
线性无关的几何意义就是,这这 个向量没办法放到同一个 维超平面内,换句话说,由这 个向量所围成的平行多面体的体积不为零。可见,只有线性无关,才能在 维空间内撑起一片天地,否则就是薄纸一张。
维数
如果在某线性空间内,存在 n 个向量线性无关,而任意 n+1 个向量线性相关,那么这个空间我们称之为 n 维空间。
例 5
可能你对线性无关觉得不可思议,我举个简单的例子:
假设存在两个不全为零的数,满足:
于是只有
矛盾,于是两向量线性无关。
空间、维数的概念十分广泛,不仅仅是可见的才是空间,有时候不可见的事物也可以使用空间的理念去解构它,比如统计学中的多元线性回归一整套理论,堪称典范。
例 6
比如在解释1949年~1959年法国进出口总额 与相关变量(国内总产值 、存储量 、总消费量 )的关系时,通过数据建立模型(数据省略,反正没人看):
但是这个模型有很严重的问题,国内生产总值怎么会和进出口总额负相关呢( 系数为负)?这不符合经济规律。这其中蕴含的深刻道理就是: 、 、这三个自变量,可能“几乎共面”、“几乎线性相关”,用统计学术语叫做存在多重共线性。仔细观察这三者的相关系数矩阵
与 的相关系数高达 0.997 ,也就是说这两个向量的夹角只有 4 度左右!差一点就重合了。要知道,我们理想的状态是,每个解释变量相互独立、各司其职,各自解释各自领域的原因。但是,相关性太高意味着两个变量对因变量的“贡献”相当大一部分重叠了,这就没啥意思了。可以通过消除多重共线性来修正模型(岭估计、主成分估计),这就不多介绍了。
注:本例出自知名学者唐年胜、李会琼女士的《应用回归分析》,两位都是我本科的老师,我时常想念两位。
例 7
以前写的一篇文章,有可能是我的原创。
无穷维的希尔伯特空间,分形里的实数维空间,维数的概念快被玩坏了,以后有机会再䃼充。
感谢阅读!