是个好问题。实际上,数量是巨大的。
我是从文章
来的,现将此问题简略叙述如下:
一个 n 音和弦的音级集合为 ,其中 ,定义一个新的和弦音级集合 ,满足:
问:满足以上条件的和弦连接 有多少?
为了方便讨论,我们做以下限制:
记 、 、 分别表示当 时的和弦连接 的数量,并记 的总数为 ,即
首先,显然我们有 , , ,即 的音程连接有 16 个。
下面计算 :
这就是它的递推式了!
(附: )
然后不停地代值即可。
随便举个栗子
二音的音程连接:
在此基础上构成三音和弦连接:
然后是四音:
五音:
补充:评论区提到了两个和弦的音的数量不同的情况,这种情况对应的双映射是:
需保证 方可使用。
若两个双射相邻,它们之间的 ic 距离只能是 4,5
同理也存在:
它不需要额外的使用限制。
此时 中 n 与 m 的关系为:
具体的选择还要视情况而定,全部统计出来太难了QAQ
下面列出符合问题描述中“同时包含等音、上行导音、下行导音”的条件的“广义增六”(四音)——属七(四音)的和弦连接:
以上分为三部分(每部分结束处都有终止线),第一部分的连接都有两个共同音,第二部分是一个共同音,第三部分没有共同音。带括号的连接是转位形式,因为原位不符合条件。其他没写出来的就是不符合条件的。带中括号的数字就是所谓的“音程向位集”。
广义增六到其他和弦的情况可类推。
问题描述中的广义增六和弦进行是第31个。
经 @Raymond 大神的指导,上面的第 10 个进行不属于半音体系,故应当排除掉。
终于可以传图了,下面是广义增六(三音)——大三和小三(三音)的进行:
带星号的是由于属于自然音体系而非半音体系而排除掉的。
补充一下,在符合条件的情况下(见前面的讨论),可以用前后音数不同的连接,此时有些排除掉的和弦也可选入,比如四音连接的第一个:
实际上,列表中空缺的包含“音程向位集”形为 [1,*,*,-1] 的连接都包含一音到两音的进行,这是由属七的小七度造成的。比如第五个实际上是这样: