经常出现在数学证明中的「不妨设」根据是什么？如何培养这种「不妨设」、「假设」的能力？ 第1页

必须要说明的是，“设”“假设”“不妨设”是三个意思。

1、什么叫“设”呢？“设”的意思就是"令"，"规定"，"让"等等。

比如我们设a代表正方形边长，S代表正方形面积，则S=a^2。

用“设”的好处在于，简洁性。以前我表示正方形面积公式需要说面积等于边长的平方，现在我“设”了一番以后，就直接用一个简单的式子S=a^2表示了。

因此，当你觉得需要重复用某个概念需要简洁的表达的时候，你就可以用“设”

所以你在证明三角形内角和一百八十度的时候，你不能直接设这个三角形是个等边三角形。因为这样不能解决这个问题。

2、什么叫“假设”呢？意思是说，我不知道我“假设”的东西到底对不对。

因此“假设”的关键不在于我所“假设”的东西到底是否正确，而是在于，我现在假定它对以后，我能推出什么结论。

简单的，比如反证法的第一句话一定是“假设……”，假设最终要证明的结论是不对的，然后我要证明最终它和已知条件是矛盾的。真正的目的是证明这个矛盾，再通过矛盾间接证明结论的正确性。

再比如，数学归纳法的第二步要假设命题p(k)成立，要在这个事基础上推导p(k+1)成立。目的是要证明这个递推关系，而不是证明到底p(k)对不对

3、什么叫“不妨设”？“不妨设”的意思就是"同理"。

这可能比较匪夷所思，容我分析一下。

（打不出公式很伤，容我之后研究一下tex公式。）

比如在给一些条件下，我们要证明(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>3

我们经常不妨设x1>x2

之所以这么不妨设，是因为只有两种情况，要么x1>x2，要么x1<x2。

而如果我们证明了对于x1>x2命题成立，那么对于x1<x2的情况，只需要交换一下原式中的x1,x2的顺序，我们就可以根据x1>x2命题成立同样的证明对于x1<x2的情况命题成立，也就是所谓的“同理”

因此我们在第一开始“不妨设”x1>x2，这是因为对于其它情况，可以同理证得命题成立。

因此当你意识到这个题其实分成两种或者更多的情况时，但是其内在的论证逻辑是相同的时候，你就可以不妨设其中一个情况是正确的。

另：数学当中没有什么是凭空想到的，反对高票回答中的“感觉说”“经验说”。

以上。

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我发现评论区以及回答当中有相当一部分把“不妨设”和条件的“轮换对称性”联系起来了。

这么做讲道理还是有点问题的，轮换对称性确实经常用“不妨设”，但是用“不妨设”的地方不见得是必须有轮换对称性的。

举个例子，证明n趋于无穷大时，1/n趋于0

那就根据 ε -N语言，对于∀ε>0,找到一个正整数N，对于∀n>N,有1/n<ε

那么这里我可以不妨设0<ε≤1,因为如果ε>1，那么对于1来说有一个N，对于∀n>N,有1/n<1<ε。

也就是说，我可以把ε设的很小，那么如果ε很大，我可以直接取小的ε对应的N即可，所以我们直接不妨设ε≤1即可。

显然，我们相当于找1/ε<n，那这里我们把N取成[1/ε]（中括号表示取整，[5.3]=5），那么问题就得证了，也即对于∀ε>0，∃N=[1/ε]，对于∀n>N,有1/n<ε 这里我们保证ε≤1，因此N现在是一个正整数，如果ε>1,那[1/ε]不是一个正整数，这里“不妨设”的好处就体现出来了。它规避掉了我们再去特别的讨论ε>1的情况下，N该取几。

显然这个问题和轮换对称无关。

所以用“不妨设”本质上还是你意识到了题目中的条件给出的情况可以“坍缩”成一个简单的情况。恰好，轮换对称永远都可以根据对称性来进行“坍缩”，但是“不妨设”绝对不局限于轮换对称式。说“不妨设”一般来源于轮换对称性的说法只是一种经验之谈，但是没有深入了解“不妨设”的本质。这样的一种做法会使得无法真正做到在数学学习中举一反三，触类旁通。希望大家能在学习数学的过程中保持应有的理性批判态度，即经验有用，但是一定要分析经验正确的内在原因和本质。

2.27更新