Fama 和 French 的三因素模型有哪些局限性或不足？ 第1页

谢@Reinhardt Jin邀请。

我想对于FF三因子模型的批判很简单，它其实并没有解决它号称已经解决了的问题。

FF之所以变得流行，就是因为FF的三因子可以解释两个实证现象

1. 小市值的公司的股票平均收益率更高（size premium）
2. 市净率（M/E)率低的公司的平均收益更高（value premium）

而传统的CAPM模型不能做到这点，这就是这个模型的贡献。

我这里有一张图可以给大家直观的感受。上面这张图直观地展示CAPM和FF3因子模型对于FF 25 portfolio的拟合程度好坏。左框图是CAPM，右框图是FF3因子模型。

上图中，每一个数字代表一个资产。横坐标为资产的实际收益率，而纵坐标为模型预测的资产的收益率。如果一个模型能够解释实证数据的话，那么模型预测的资产收益率应该与资产的实际资产收益率接近，也就是说资产应该都出现在45度线这条参考线附近。可以看出，相比于CAPM，FF的3因子模型表现好多了。以纯粹的统计角度来分析，CAPM对资产收益的解释能力，以 衡量，仅有2%，而FF三因子模型的 高达79%。

到此为止，Fama French 3因子模型完爆理论上优美无比的CAPM，宣告CAPM在实证意义上的死亡。此后学术界花了很长时间去想办法从理论上解释，为什么会出现size premium（市值溢价）和value premium（价值溢价），大家都想要开发出更有经济学意义的模型来媲美FF 3因子模型的表现，但是数得上的竞争者也就一两个。

但3因子模型的优秀表现其实并不是什么意外。我下面要用上一点数学。不想看数学的可以直接跳到推导结论那里。

推导：

有资产定价训练的人一定对下面这个公式很熟悉。

其中 是一个向量，包含了所有资产的收益率，而 是定价核（pricing kernel）。只要市场上没有套利空间，上面这个等式就成立。

现在，我使用定价核 对资产收益率向量 做一个线性投射，

其中 是投射留下的的残差，所以满足 。那么我得到

换言之，通过已有资产的线性组合 我可以达到跟真正的定价核一样的效果。记住通过对定价核线性逼近就可以得到一个多因子模型，在这个例子中，因为本来就是线性的所以我可以直接做另一次线性变换得到新的多因子模型。（具体请看我另一个答案什么是多因子定价模型？APT（套利定价理论）、Fama-French三因子模型之间的关系是怎样的？ - 知乎 ）我们就可以得到下面这个结论。

推导结论：只需要对已有的资产收益率进行合理的线性组合来构建一个多因子模型，就可以在样本内达到对数据极高的拟合度。

让我们回想一下FF的市值因子（size factor)还有价值因子（value factor)是如何构建的。下面这张截图来自于Ken French的网站

我来简单翻译一下。首先对股票池中的资产按照市值和净市率进行排序，得到六个市值加权的投资组合。（具体请看Detail for 6 Portfolios Formed on Size and Book-to-Market）其中市值因子的值为对应小市值的三个投资组合的平均收益率减去对应大市值的三个投资组合的平均收益率。价值因子类似。

换言之，FF的市值因子和价值因子，本来就是他们构建的资产组合收益率的一个线性组合。（事实上，这种因子构建方法相当于做一个nonparametric cross-sectional-regression，本身就是在模仿投射）结合我之前的推导结论，FF3因子模型对FF 25 portfolio的收益率的解释能力更强，还显得这么令人惊讶吗？

在样本内你还可以找到比Fama和French他们本人更好的构建市值因子和价值因子的方法，达到对FF 25 portfolio更好的解释程度，但这并没有说明任何问题。 类似的，哪怕我的模型就是宇宙规律，但只要我的数据在收集的时候有误差，在样本内仍然可能输给FF 3因子模型。也就是说，因子对样本内资产收益率的解释程度本身并不能作为衡量因子好坏的绝对标准。

从这个意义上来说，FF的三因子模型并没有达到它的目标，它并没有真正的找到两个因子来解释市值溢价和价值溢价。当然了，它确实宣判了CAPM在实证中的死刑，这对于大部分人来说已经是一个共识。

参考文献

1. Cochrane, J.H., 2005. Financial markets and the real economy. Foundations and Trends® in Finance, 1(1), pp.1-101.
2. Fama, E.F. and French, K.R., 1992. The cross‐section of expected stock returns. the Journal of Finance, 47(2), pp.427-465.
3. Fama, E.F. and French, K.R., 1996. Multifactor explanations of asset pricing anomalies. The journal of finance, 51(1), pp.55-84.
4. Lettau, M. and Ludvigson, S., 2001. Resurrecting the (C) CAPM: A cross-sectional test when risk premia are time-varying. Journal of political economy, 109(6), pp.1238-1287.

补充

• 由于Fama French因子的构造方法，导致即使是股票指数也可以产生阿尔法：指数也有阿尔法？—— S&P 500和Russell 2000都有

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