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半径为 2 的圆,其周长和面积相等吗? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

这个问题蛮有趣的。从数学的角度来说,我的第一感与 @Rochel1i 最后一段一致。设 是半径为2的圆盘, 是 中所有可求长的曲线的集合, 是 中所有可求面积且边界可求长的点集的集合, 把曲线映到其长度, 把图形映到其边界(这样 就是把图形映到其周长的映射), 是把图形映到其面积的映射,则 ,即 的面积等于 的周长。就像现在我这个回答的评论区中讨论一样,从数学的角度是可以比较 的面积与周长的,因为它们都是实数,而实数是可以比较的。

这么说在物理上看起来是很奇怪的,因为我们知道面积与周长不能“相等”。那么问题出在哪里呢?主要是,上面定义的映射 与 都是映到 的,也就是之前所说的面积和长度在数学中的标准定义都是一个实数,其类型是相同的(回顾 与 在数学中的标准定义: 定义为曲线上折线段长度之和的上确界,故映到的值是一个实数; 就单纯是一个Lebesgue测度,只不过是限制在 上的,因此映到的值也是实数)。但是看看实数集 这个东西,它本身并不带有“量纲”这个结构,所以数学上周长与面积的“标准定义”没法描述“量纲”这个概念。

那么,如何在数学上去描述“量纲”这个结构呢?或者具体而言,如何重新定义,使得面积和长度是两个类型不同的东西,也即不要让面积和长度只是一个单纯的实数,而是要附加额外的结构?一种办法是将面积与长度人为隔离开。比如,将 改造成 ,然后让第一个分量代表长度,第二个分量代表面积,然后上面提到的 这些映射都改成映到 的。在这种定义下, , 。我们很高兴地看到,此时 ,即 的面积不等于 的周长。

当然这个方法看起来好像有点愚蠢,因为面积和长度其实不是完全不同,它们本质上是同源的,即面积是具有长度的平方这个量纲的。我们最好将本质上不同的量纲隔离开,然后想出一种方法自动组合出这些量纲的平方、立方等乘积。事实上,题主给出的陶哲轩的那篇博客给出了这样的“量纲结构”的构造。比如 是事先选出的基本量纲(物理中 ),先按照上述方法把这 个量纲隔离开,即 ,其中 是 的一维线性子空间,对应量纲 。然后令 的对偶空间 对应 这个量纲。定义 。然后定义 型“含量纲值”为 中的张量,它对应 这个量纲。两个含量纲值相乘定义为其张量积,但不同型的含量纲值不定义其加法。 在这种定义下,假如说把 看成长度这个量纲,则 (也即是 的一个元素)而 (也即是一个双线性映射 的对偶映射,根据张量的某一种构造)。我们高兴地发现, ,即面积与周长不相等,因为连类型都不一样。


user avatar   wang-zheng-12-87 网友的相关建议: 
      

半径为2的圆,周长和面积相等,这句话一定没问题。无量纲的数比较当然可以,否则我们解二次方程就没意义了。

但是反直觉的地方在于,我们生活中碰到的很多数都是有量纲的,尤其是周长和面积。所以要正确理解这句话,必须把思路逆转过来:什么样的东西才是无量纲的呢?倍数。

所以说,“半径为2的圆,周长和面积相等”的一个正确的理解方式可以是:

如果一个圆的半径是一条单位线段的两倍,那么他的周长相对于这条单位线段的倍数,等于他的面积相对于单位面积的倍数。

有点绕,但是完全没毛病,我们甚至可以类似地解读“半径为1的圆,周长是面积的两倍”这种话。




  

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