1991年有一篇极好的科普文章:
A. Wehrl, The many facets of entropy,Rep. Mat. Phys. (1991) 30, 119
讲这个事情。要从微观出发,得到系统的热力学熵,其表达式必须具备某种形式。
四种统计物理中常见的熵(不计测度熵和拓扑熵)共同的基本性质为:
1.不变性,相空间的熵在正则变换下不变,三种经典熵在保测度变换下不变;量子熵在unitary变换下不变。2.而且,熵还都是凸函数。3.熵也都具有可加性(additive)或subadditive。
具有上述性质的离散的熵的函数形式几乎是唯一的:
定理:任何具有上述性质的离散的熵,其函数形式必为(Shannon熵 或von Neumann熵)和(Shannon熵 或Hartley 熵(1928))的线性组合(J. Aczel, B. Forte, C. T. Ng, Adv. Appl. Prob. (1974) 6, 131)。
@Again 指出存在反例,但此处看上去应该是指一般的情况。感觉在统计物理中,由于这是个多体问题,特例总会存在的。而且目前对熵的研究仍然是一个科研方向。我阅读的这篇文章里,自己就指出了一个open question:
量子力学中的熵不具备单调性。但是1991年为止还没有实验观测到这个效应。
简单搜索文献可以看到一些研究文章: