如何用量子力学的语言严谨地描述等概率原理？ 第1页

楼主的这个问题大致可以分成两个部分来回答：

（1） 对于经典系统以及量子系统，如何来表示系统的一个微观状态；

（2）在什么情况下，系统的微观状态是等几率分布的。

首先回答第一部分。

对于经典系统，根据哈密顿力学，具有个自由度的系统满足组正则运动方程，于是由微分方程解的存在性和唯一性，我们只需知道个广义动量和个广义坐标的初始值，即可确定系统的一个解，亦即确定了系统的一个微观状态。因此，我们可以用广义动量和广义坐标的笛卡尔积来标记系统的微观状态，此即统计物理中所谓的“相空间”。

对于量子系统，系统的广义动量和广义坐标不再是数而是算符，根据正则量子化条件，它们不具有共同的本征态，因此这时如果仍然使用广义动量和广义坐标的笛卡尔积来表征相空间，相空间中的点将会失去物理意义。很多教材中使用了一种argument，即这时可以认为相空间中一个大小为的体积元表征了系统的一个微观状态，其中为普朗克常量，为系统的自由度数。这显然只是一种argument罢了。其实，对于如何标记量子系统微观状态的问题，量子力学本身就给出了回答。量子力学用希尔伯特空间中的一个矢量来描述系统的状态，相应的相空间可由一组完备的量子数的笛卡尔积来描述。

以一个无自旋的自由粒子为例，经典力学中，需要知道该粒子的初始位置（广义坐标）和初始动量（广义动量）才能确定其状态，而量子力学中，只需知道该粒子的动量就可以确定其状态了。

然后是第二部分。

有了第一部分做基础，这一部分的回答其实就很简单了，即微正则系综的所有微观状态等几率分布。物理上，微正则系综描述的是一个孤立系统，具有确定的能量、粒子数和体积。不论是经典系统还是量子系统，只要它是一个孤立的体系，由微正则系综来描述，其微观状态的分布就满足等概率原理。

PS1. 密度矩阵是描述系综的数学工具，采用何种表象，或者说采用哪一组完备的基矢来表示它，并不影响最后的结果。不同的表象之间只是相差一个幺正变换。

PS2. 从实用主义角度而不是数学严谨性来看，连续谱主要影响的是密度矩阵的归一化问题。分立谱采用概率，统计平均用求和，连续谱采用概率分布，统计平均用积分即可。