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如何求解这个理论力学问题? 第1页

  

user avatar   chiang-56-69 网友的相关建议: 
      

提供一个新的思路

设质量线密度 ,取 微元,则对O点角动量

重力力矩

选取一小段时间 ,有

经过整理,得到


user avatar   yongle-li-86 网友的相关建议: 
      

我尝试建立一下模型(之前的答案好像多写了一个外场):

刚体杆上边某一点(离原点距离为 )的拉格朗日量密度(前三项为该点的动能,最后一项为重力势能):

此处

然后做换元,换成球坐标:

对时间求导数时, 对时间求导为零。

再积分:

有拉氏量似乎可以愉快求出转动周期。

由第一个欧拉-拉格朗日方程可见, 即角速度恒定。

由第二个欧拉-拉格朗日方程可见,

刚体杆只有两个自由度,其E-L方程只有上边这俩了。

代入条件 为一定值,

这里负号的产生,是因为上边引入势能用了正号:

定义其为负号即可。


最终


马尔契夫《理论力学》188页例二是一个类似的例题,但是为一个质点而非刚体杆,可供参考。


本答案未考虑狭义、广义相对论修正,也未考虑到杆是由原子组成的,而原子又是由原子核和电子组成的,实在是惭愧!如果考虑相对论修正,杆会变形;考虑原子核和电子,杆会辐射出电磁场,请走过路过的有志青年来算一下!


user avatar   Huxley-84-43 网友的相关建议: 
      

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:

这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:

记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:

这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。


按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:




  

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