从微观的角度看,刚洗的衣服的纤维储藏着大量水分,我们假设每根竖直的纤维之间不存在水分的交流(就算有,总体上也是出入相抵),于是我们只需要研究单根浸湿纤维滴水的情形即可。假设纤维水分分布初始状态是均匀的,然后受到重力的作用,水分沿着纤维下落,在末端聚集,当水滴足够大时,由于超过纤维对其的吸力而脱落。由于脱落的瞬间带走末端大量水分,于是在纤维末端重新聚集水滴……
我们模型假设有:
因为纤维内初速度为零的小液滴在初始时刻受到的合外力是一样的:重力减去纤维的阻力,于是纤维上的液滴在接下来的时刻速度始终一致,也就是说流量 在纤维处处一致,于是在纤维的末端截面 ,可以得知
设液滴下落的重力阈值为 ,则
通过解该方程,我们能得到时间阈值 ,这也是我们的目标。于是完成第一次水滴积累的水分,来自于在 内能流到纤维末端的水分。我们把时间 等分 份,每份为 ,那么第一批水分到达末端时的速度为:
第二批水分来到末端时的速度为:
……
令 ,我们得知关于 的函数表达式:
代入到 得到
再将上式代入到 式,得到
这些量都是可以通过测量得到的,比如阻力加速度 可以比较水滴自由落体运动和在纤维中的运动,从而解出阻力在其中的影响。
至于第二滴落下去的水,
其中 , 是二次方程 的解,
易知 。这个阶段我们称之为加速阶段,即水滴越滴越快,甚至涌流如注,此时纤维中的水分非常充分,就和水管没有分别。
但是当纤维中的水分不是很充足时,显然上面的模型不再适用。
为了修正模型,我们需要考虑纤维中水量对于液滴流速的影响。水量充足时,大量液滴与纤维接触较少,更多地是液滴之间的接触,摩擦力较小;水量不足时,大量液滴直接与纤维接触,摩擦力逐渐上升。于是我们假设水量越少,摩擦越大:
于是损失第一滴水量后,
带入到方程 时
推而广之
#知乎问题:湿衣滴水时间间隔 T <-function(n, k = 10, Q = 0.3) { if(n==1)return(1) T = 1 for(i in 1:(n-1)) { k = k - Q T = sqrt(T*T+1/k)-T } T } look <- function(N) { x = 1:N y = c() for(i in x)y[i]=T(i) plot(x, y, ylim = c(0,1.5), xlab = "n", ylab = "time gap", pch = 19, col = "blue") } look(34)
最近知乎不能插入图片,就请诸位自己在 上运行这段代码。
我大致描述一下这个图像:
起初散点略有些波动,但是往后立即变得平稳起来,早期增长缓慢,水滴时间间隔几乎一样。但是进入后期,时间间隔迅猛增加,最终到达无穷,这意味着衣服的水分不足以汇聚成水珠,最终停止滴水。
这个结果还是比较合理的(虽然这个模型很弱智、过度简化)。
知乎好了,能插图片了。