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晾一件刚洗的衣服,有可能计算出每滴水落地的时间间隔吗? 第1页

  

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分析与假设

从微观的角度看,刚洗的衣服的纤维储藏着大量水分,我们假设每根竖直的纤维之间不存在水分的交流(就算有,总体上也是出入相抵),于是我们只需要研究单根浸湿纤维滴水的情形即可。假设纤维水分分布初始状态是均匀的,然后受到重力的作用,水分沿着纤维下落,在末端聚集,当水滴足够大时,由于超过纤维对其的吸力而脱落。由于脱落的瞬间带走末端大量水分,于是在纤维末端重新聚集水滴……

我们模型假设有:

  • 纤维为圆柱状,截面面积为 ;
  • 纤维的阻力加速度为常值 ;
  • 液滴下落的重力阈值为 ;
  • 纤维内的小液滴大小一致,且初速度为零。


加速阶段

因为纤维内初速度为零的小液滴在初始时刻受到的合外力是一样的:重力减去纤维的阻力,于是纤维上的液滴在接下来的时刻速度始终一致,也就是说流量 在纤维处处一致,于是在纤维的末端截面 ,可以得知

设液滴下落的重力阈值为 ,则

通过解该方程,我们能得到时间阈值 ,这也是我们的目标。于是完成第一次水滴积累的水分,来自于在 内能流到纤维末端的水分。我们把时间 等分 份,每份为 ,那么第一批水分到达末端时的速度为:

第二批水分来到末端时的速度为:

……

令 ,我们得知关于 的函数表达式:

代入到 得到

再将上式代入到 式,得到

这些量都是可以通过测量得到的,比如阻力加速度 可以比较水滴自由落体运动和在纤维中的运动,从而解出阻力在其中的影响。

至于第二滴落下去的水,

其中 , 是二次方程 的解,

易知 。这个阶段我们称之为加速阶段,即水滴越滴越快,甚至涌流如注,此时纤维中的水分非常充分,就和水管没有分别。

但是当纤维中的水分不是很充足时,显然上面的模型不再适用。

减速阶段

为了修正模型,我们需要考虑纤维中水量对于液滴流速的影响。水量充足时,大量液滴与纤维接触较少,更多地是液滴之间的接触,摩擦力较小;水量不足时,大量液滴直接与纤维接触,摩擦力逐渐上升。于是我们假设水量越少,摩擦越大:

于是损失第一滴水量后,

带入到方程 时

推而广之


R 语言程序

       #知乎问题:湿衣滴水时间间隔 T <-function(n, k = 10, Q = 0.3) {     if(n==1)return(1)     T = 1     for(i in 1:(n-1))     {         k = k - Q         T = sqrt(T*T+1/k)-T     }     T }  look <- function(N) {     x = 1:N     y = c()     for(i in x)y[i]=T(i)     plot(x, y, ylim = c(0,1.5), xlab = "n", ylab = "time gap", pch = 19, col = "blue") }  look(34)     

最近知乎不能插入图片,就请诸位自己在 上运行这段代码。

结论

我大致描述一下这个图像:

起初散点略有些波动,但是往后立即变得平稳起来,早期增长缓慢,水滴时间间隔几乎一样。但是进入后期,时间间隔迅猛增加,最终到达无穷,这意味着衣服的水分不足以汇聚成水珠,最终停止滴水。

这个结果还是比较合理的(虽然这个模型很弱智、过度简化)。


知乎好了,能插图片了。




  

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