我想可能乍一看会有一种误解:小球每次反弹速率(或者说能量)都不为0,那么必然要无限次反弹之后才能停下,因此这个小球就永远停不下来。
这是一个典型的芝诺悖论问题,大致就是小树和强强赛跑,强强先跑10m,小树跑的比强强快。那么按照常识小树肯定会追上强强对吧。但是如果拆分开来一次次的看呢?
当小树跑到10m的时候,强强可能已经在11m了;然后小树跑到11m的时候强强已经在11.1m了......以此类推,小树永远都追不上强强。
诶?这是个啥情况啊。
我们以这个题来考量:
假设小球下落初始高度为 ,势能为mgh,初次撞击前速率为 ,耗时
根据题设条件每次撞击损失一半能量即速度降为 ,那么显然高度也会降低到
根据动量定理或者匀加速运动公式可知再次碰撞的时间为 ,也就是撞击间隔以 的速率等比递减
如果我们从第一次碰撞之后开始计时,那么运动总时间:
根据等比数列的求和公式:初次碰撞之后 也就是大概2.18s就会停止。如果是从开始下落计时则需要2.63s。
这个问题的悖论在于,需要无限次碰撞,但是碰撞间隔在缩短,所以无限次碰撞所用的时间不是无限长。上个图,就是这样......
如果我们定义上次碰撞到本次碰撞之间的间隔为碰撞周期的话,那么碰撞频率实际上是以指数规律迅速增大的:
可以看看王小波的《青铜时代》,虽然王小波不在了,但是也算是现代的文学作品吧。