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「等于」的严格定义是什么? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

谢邀。

希望我能写出一个直观又不失严谨的说明。

序言

我们常说的“等于”,实际上是一个映射。通常我们在实数域 上讨论,为了不失一般性,我们在一个更为抽象的集合 上讨论之。

定义 1

在集合 上,任取其中一个元素 可以得到一个单点子集 ,若存在 满足

我们就说

定义 2

映射 ,并且满足:

我们简记为:

remark

以上两个定义都是元素相等的定义:定义 1 只用到了集合论,定义 2 在集合论的基础上添加了映射的概念,不过两者是相容的,那么我为什么还要写出第二个定义呢?值得一提的是,我们将映射的结果往往记为

这里的等号其实只是箭头的含义

只不过

在算术的场合下 与 不会因为混为一谈而造成误会。

利用元素的定义,我们可以构造两个映射(运算是一种二元映射)相等的定义——

定义5

两个映射 ,若满足

我们称


后记

定义元素相等的方法还有很多,比如在一个全序集(任意两个元素都可以比较大小的集合),如果同时满足 ,我们记为 ;或者用等价关系三条公理定义。但是我没有写,因为我觉得等价关系是一个比较粗糙的(对我们通常理解的等于)刻画,比如平面三角形的相似和全等都是等价关系,相似的三角形有很多很多,但是全等的三角形在重合的意义下唯一,而后者却更接近我们通常对相等的理解。不过,也不必太拘泥哪种理解,事实上,任何相等只能是在某种意义下的相等,而等价关系的刻画也确实道出了相等的精神。

所以,我忍不住追问:我是在何种意义下等于我呢?我真的是唯一的我吗?


推荐阅读:《陶哲轩实分析》


以上的说明实际上很简略,一言以蔽之:把说不清、道不明的麻烦全都推给了集合论。在定义“相等”的概念之前,我的前提是:只有集合的概念、可以判断元素是否属于集合,仅此而已,不需要自然数概念,没有“唯一”的概念。

我和题主在评论区的讨论是很生动、详细的,如果要深究本文,建议看看。


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

大家写得都比较通俗,我来给一个纯形式化的定义。

一个二元关系 是指一个从 到 的映射,其中 。

映射到 记作 。映射到 有各种不同的记号。

一个二元关系 被称为相等关系,当且仅当

1.

2.

3. 。

其实更专业的说法叫等价关系,这比通常的相等关系更为广泛。比如在模某个数的整数环中,两个在通常意义下“不相等”的数可以是等价的。


奈何本人学艺不精,最基础的等于关系的定义我是不清楚的,只知道广泛的等价关系。。。

不过,如果只考虑数的相等的话,我以前有过一个脑洞想法,自己创造了一个“公理系统”,把实数定义为由一个有限符号集组成的字符串,定义字符串里“邻居”的概念,然后定义位置的概念。从而可以定义相等为:两个数相等等价于位置相同的符号相同。(也就是按照“小学生的思维模式”来定义。。。)




  

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