400 级地震和 13 亿分贝，哪个能量更大？ 第1页

这个问题出现这样的提问方式充分说明了一点：对数表示法过于反直觉，在生活中使用时必须进行一定的限制，而且尤其应该避免对两个基于对数尺度的量进行比较。

表示地震的震级，表示声音的分贝，还包括天文学中的星等，化学中的pH值等等，它们共同的特点是——基于对数尺度。原理就是所有人在高中都学过的——取对数，在计算器的“log”键上一按就出来了。

但是，对数这个工具的内涵远比计算器这一个按键丰富。比如，这个问题的问法就体现了对数尺度的第一个反直觉性：基于对数尺度的“分贝”是绝对不能直接套在能量上说“分贝能量”的！任何时候，进行对数运算的物理量都必须无量纲，也就是不带单位。所以，“1分贝”能量这样的说法没有任何意义。假如要研究一个大小为5e10 J的能量，我们必须先定义一个基准能量，比如1 J，然后把待求的能量和这个基准“1 J”取比值，再对这个比值进行对数运算，得到的结果——10.7，才成为10.7“贝尔”。根据“1贝尔=10分贝”，把这个值放大十倍，得到的才是107“分贝”（另外在声学中提到的“分贝”所基于的一般是指压强而不是能量）。

在科学里，对数、三角函数、反三角函数等运算的自变量都一定要无量纲。我们在中学课本上学到：pH值是溶液中氢离子“浓度”的负对数”，但这个说法是不科学的，因为“浓度”的单位如果是mol/L，这样的有量纲量是不允许直接进行对数运算的。实际上，计算pH值之前，我们要首先将氢离子浓度除以一个“1 mol/L”，这个做法的目的就是保证对数运算的无量纲要求。

对数运算不允许带单位还说明另一点：我们使用的一切形式的单位都属于“算术尺度”（arithmetic scale），只有在算术尺度下，物理量的累积才是均匀的，此时说“一单位某某”才存在意义。然而，在对数尺度下，说“一个贝尔”或“一个分贝”能对应多少算术尺度，这是毫无意义的，因为在对数空间里，“2分贝-1分贝”和“100分贝-99分贝”在算术尺度下所对应的量完全不一样，不存在一个均一、普遍的“一单位”。

然后，你可能会问：为什么不用“贝尔”，而要用“分贝”？其实纯粹是因为要是直接对一个量取对数，得到的数值过于反直觉，民众理解起来很难受。以地震里氏震级为例，它规定的基准是“在距离地震震中100公里处放置的地震仪观测到最大1微米的水平位移”，这个“1微米”取对数得到的就是0。然而，数字上3~4和6~7看似都相差1，可从3级与4级地震震幅不过增加了0.9厘米，但从6级到7级，震幅却能增加9米，所以前者在地球上每年发生几万次，后者出现一次就能造成巨大破坏，这个差距完全违背了人们的思维模式。而要再往上，比如地球上出现过的9级地震，理论上震幅就要直接跳到千米级，这甚至显得很荒谬了，当然在这个时候简单的里氏震级实际上已经不适用了。在以10为底的对数体系下，人类接触到的很多物理量甚至连两位数都没有出，这导致数字变动的幅度过于剧烈，而“分贝”的设计就是把它稍微调和一下，让数值增长的速度变得稍微缓慢一些。

相同的问题在化学里也能见到。比如我们做酸碱滴定的时候会见到，酸性指示剂甲基橙的pH变化范围是“3.1-4.4”，碱性指示剂酚酞的pH变化范围是“8.3~10.0”，可按课本说法，中性溶液的pH不是7吗？其实，由于pH是对数尺度，若是强酸和强碱滴定，起始pH=1，那么在3~11这个范围内，pH=3和pH=7其实并没有多大区别。在实际滴定中，在靠近1或14的区间，溶液pH值的变化相当缓慢，每一滴可能只能改变零点几，然而只要pH>3，一滴溶液就能造成pH剧变，然后迅速达到酸碱平衡的另一头。所以大学化学专业中的酸碱滴定实验往往极其难做（以致许多人只能昧着良心编数据交报告……），就是因为你要用算术尺度的操作（控制滴定管匀速滴加溶液）来控制对数尺度的变化，这着实是太反常理了。

但是，为什么人们还要使用对数？因为它太强大了。哪怕是以原子质量为基准来衡量宇宙的总质量，或是以普朗克时间为基准来衡量宇宙的总年龄，在经过对数处理后，得到的结果甚至连十进制下的三位数都不需要达到。以现有宇宙的时间、空间、物质总量来看，使用对数这种大数（或者小数）的“降维”操作已经绰绰有余了。至于本题出现的“13亿分贝”，这相当于把算术尺度下的大数记号“亿”和对数尺度下的大数记号“分贝”叠加到了一起，这么产生的数量级是 ，连对数都已经表示困难，乃至出现了构造大数时使用的迭代幂次，这东西是讨论高德纳箭头、葛立恒数这类超出人类理解能力的数时才需要用到的，至于我们现在的宇宙，跟这样的数量级比起来与零无差。

另一点则是，人类的大脑对于自然界中很多以指数变化、变化幅度剧烈的物理量，其实已经自带了对数过滤器的功能。所以虽然对数尺度乍看之下比较反直觉，但放到人类的大脑中，它恰恰才是最贴合直觉的表示方式。比如声学中的分贝所对应的原始物理量是“声压”，但如果直接按压强单位“Pa”表示声音的响度，房间里和马路上的声压能相差1000倍，然而，当你从房间出到马路上时，你真觉得声音响了1000倍吗？其实我们的听觉系统已经自动对声音做了平顺化的处理，本质也就是取了对数。同样，如果按物理意义上衡量亮度的单位“lux”来看，太阳比月亮能亮出40万倍，但人眼看太阳和看月亮时真能感觉出“40万”这么一个天文数字吗？实际上人眼对亮度也做了对数处理，如果按天文学中的对数视星等衡量，太阳是-26.74等，满月是-12.90等，这个差距就比较符合人感官的判断。

参考阅读：

「亿」是如何从「十万」变成「万万」的？