一竖直旋转圆柱上连接一均质柔软有限长绳，稳定时绳是什么形状？ 第1页

谢邀。。。。

我还真是闲得蛋疼，实验都做不出来还过来水知乎。。

要是我的实验都像这个题一样，能直接算一算就差不多了就好了。。

╮(╯_╰)╭

首先我们建立空间坐标系 ，为了方便起见，我们也取一个沿绳子的自然坐标系 ，如下图：

假定绳子总长为 ，质量线密度为常数 ，自由端为坐标起点，固定端做匀速圆周运动，绳子张力分布为 ，则有边界条件如下： ,

最重要的，绳子的运动方程可以写为：

以及绳子不可伸长的约束： 。

首先，我们来解决一个大家还在争论中的问题，稳定状态时，绳子的形状是否是一条平面曲线。。

于是我们假定稳定状态的解可以表达为： ， ， 。若 则说明绳子的形状是一条平面曲线。。

于是将上述试探解带入运动方程，算一算就可以得到

实部： ，

虚部：

其中虚部的方程很简单，可以直接积分得到 ，利用边界条件 可知， 对任意 均成立，于是得到 ，亦即 ，说明绳子的形状的确是一条平面曲线。。

╮(╯_╰)╭

既然如此，我们重新整理一下重要的运动方程： ， ，及约束 。

其中关于 的运动方程显然是可以直接积分的，利用边界条件 ，得到： 。

若我们为了简化计算，类似地假定 ，利用约束条件和 ，则可以简便地计算出 ，于是结合另一个边界条件 和 ， 和 都可以形式地算出来：

，

同时结合另一个运动方程， ，取微分得到： ， 以及边界条件 ， 。

所以，这就是一个二阶微分方程定解问题。。

结合微分方程，我们可以进一步简化 和 的表达式，比如

当然，这个非线性的二阶微分方程，我也不会解。。但是做个数值画画图看看绳子是什么形状的，非线性微分方程的数值解，留做习题好了。。

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不过我必须要提醒一下大家，问题到了这里，已经开始变得有意思了。。因为这是二阶微分方程，通常会具有非平凡解，会出现震荡或者共振行为，也就是接下来我所要说的事情。。

换句话说，其他答主，其实仅仅只计算了这个体系中，最简单的一个平凡解。。

╮(╯_╰)╭

首先，我们来个最简单的近似，假定 ，这样我们可以把这个非线性的微分方程线性化，得到 。这个线性化的方程有解，可以用一阶贝塞尔函数表达出来，结合边界条件，可以定解：

换个简明一些的符号， 记 ，则有 。。

那么一阶近似下，就有 ， 。。

可以看到，绳子的横向偏移量 ，正比于 ，也就是振幅。。而事实上，在后面的时候我会重新提到 ，它事实上具有比振幅更多的意义。。

简单画一下这个贝塞尔函数，大家就可以看出来，绳子的大致形状了。。

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对于熟悉贝塞尔函数的童鞋，看到绳子的横向偏移量 跟贝塞尔函数有关，到这里就已经可以看出来了，一旦参数合适，即系统的转动角速度 足够大的时候，也就是 足够大的时候，那么 很可能存在零点。。而零点的存在则意味着，绳子将会穿过转动轴，而不是简简单单地一直向外延伸，这便是该问题中的非平凡解。。

而每当 ，其中 表示 的第 个零点时，系统发生共振。。而共振时则说明着，一个非平凡解向着另一个非平凡解的过渡。。

由于 表示振幅，为了表达共振解则只要取 就好了，此条件意味着边界条件 ，在每个 的零点 处存在非平凡解， ， ，以及 。。

简单画一下这个贝塞尔函数，大家就可以看出来，非平凡解的形状了。。可以看出，系统每跨过一个 的零点，那么绳子跟转轴就多相交一次。。如果我们把绳子穿过转轴的次数，称作解的阶，那么平凡解也就是0阶解，只出现低角速度情形。。当然，根据初始条件的不同，低阶解是可以出现在高角速度情形的，但是高阶解是不可能出现在低角速度情形的， 具有其特有的阈值，也就是 。。

于是我们可以对这个系统简单地画个相图：

这个相图中，可能出现的构型数目，随着 的不断增加，而向右无限增加，因为 具有无穷多个零点。。

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至此，做了近似之后的线性化的方程已经研究得差不多了。。我们还是回头看一看原先那么非线性的方程会给出什么样的相图好了。。╮(╯_╰)╭

所以我们回过头看看，当初这个线性化的近似，扔掉了什么。。

假定 ，这样我们将复杂的 项近似为了 ，而原本 这一项的是来自约束 ，也就是绳子不可伸长。。

正是这个约束，导致了方程的非线性效应，结果就是绳子的振幅并不是独立参数，而是转动角速度的函数。。

换句话说，随着 的振幅（正比于 ）不断增加，绳子本身会在竖直方向上缩短，这样对应于系统的转动角速度也要增加，结果就是相变的临界点也要不断向右偏移，高阶解的存在，需要依靠更高的转动角速度才能实现。。

另一方面，绳子不可伸长，意味着边界条件 将限制绳子本身可以穿过转轴的次数，进而解的阶数将会被限制。。也就是说，高阶解不仅有角速度的阈值，也有振幅的阈值。。

所以，我们就可以粗略的描述出非线性效应，也就是绳子不可伸长，对线性系统的影响。。于是一个更加贴近实际情况的相图，就可以画出来了。。

比如， 较大的时候，只存在平凡解。。

当然，这个相图只是我随手画的，具体这个相边界，满足什么样的方程 ，留作习题好了。。

╮(╯_╰)╭

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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