什么叫「具有扎实的数学基础」？ 第1页

如果是截至高中水平的数学的话，大概你接触到的大部分都是初等数学。在这一块要说数学基础，那大致可以归为以下：

一.算术（数感、归纳推理 ）：可以心算数目不大、运算程序不复杂的计算（懂一点速算法会有加成）。对于大数目，笔算也应能够算出正确结果。以及，熟练地正确使用科学计算器（别以为这很low，实际上这里边有一堆潜在的错误风险，稍不注意就踩雷）…… 巧算、简算和估算是进阶能力，要重视。
**列算术式解应用题虽然号称很开发智力，但其实不是重点。

二.代数（形式演算与符号抽象 ）：

1.代数式变形技巧：最简单的包括合并同类项、幂的法则，复杂点的有整、分、根式的运算化简，这部分难度最大的是因式分解，其中尤其难的是添、拆项和公式法，特别考验那种“对复杂的式子做高明的变形，以解决那些用常规方法解决不了的问题（伊藤清转述柯尔莫果洛夫语）”的技能。

2.列方程与解方程：这是代数的基本能力。没说的，未知数少于四元，最高次幂小于等于三的方程（组），拿过来就得像庖丁解牛一般，行云流水地算出解（集）。

3.不等式：这是真正通往高等数学的阶梯。判断解集情况是初等数学的内容，对不等式的证明、变形以及利用不等式进行估计则是高等数学的敲门砖。
**这部分学不会的话，你基本上就告别了理科，建议考虑选择文艺类相关专业。理由是显然的——没有任何一部高于小学程度的数学书不是用字母、代数式这些东西写出来的。你能想象自己在语言不通的状态下学习文史哲么？

三.几何（图形识别、演绎推理、直观与想象的均衡 ）：

1.平面欧式几何：演绎逻辑的典范，公理化之滥觞。

2.空间欧式几何：往往会发现自己虽然天天生活在三维空间里，但是对它的想象力与观察远不熟悉。

3.解析几何、向量运算及三角学：代数与几何的完美结合，其精髓在于把精巧证明全转化为暴力计算。这部分要是学好了，当初那些你绞尽脑汁也证不出来的几何题基本都会迎刃而解。
**更高级的现代几何学需要很多同样高级的数学支持，不在讨论之列。

四.集合与函数（基础语言与底层逻辑 ）：

1.集合的概念及集合间的关系：这是数学的底层概念，不能被其他概念所定义。因此，必须要能够从不同的角度去理解，这些角度包括但不限于：枚举、示性、图解（Venn图）……以及元素对集合可以自然地定义“属于”，集与集之间可以定义“包含”，这是集合上最基本的关系。

2.形式逻辑：包括逻辑谓词（数学中常用的是且、或、非、蕴含、等价，其中最诡异的是蕴含）和逻辑量词（数学中最常用的是全称量词“对于一切……”和特称量词“存在某个……”），以及基于此二者及某些数学对象所构成的命题（关于命题，最重要的能力是能够顺利地作出其否定，这是反证法的关键！）。

3.集合的运算：基于逻辑谓词中的且、或、非可以分别构造两集合的交、并、补。而利用交、并、补的定义又可以推演出一系列的运算法则（如德摩根律等等……）。

4.函数的定义：在这个点上深挖，可以挖到大学数学内容……

5.基本初等函数：对各种性质、图像、算律、变换的掌握，要能够实现可视化，也就是达到在脑中运行相关动画的程度。这部分如果没搞定。。——“有一棵高高的树叫高树（数），上面挂了很多人，它在风中摇曳着枝条，仿佛在向不远处的你轻轻招手……‘来吧童鞋，投入我温柔的怀抱，让我抚慰你智力的创伤……’”。
**1-3这部分学好了，你的逻辑思辨能力会有所提升，可能会发现生活中种种推理谬误，数学中少见的能够启发人去思考人生的部分……

五.微积分初步 （由常量走向变量，由有限走向无穷，现实是逼近地精确 ）：

1.直觉地理解极限、无穷大与无穷小、导数/瞬时变化率/切线斜率。

2.熟稔使用微分算术法则求出任意初等函数的导数。

3.理解原函数与不定积分是求导的逆运算。

4.应用：如将导数与极值的关系应用于画函数的图像，运动学(kinematics)。
**鉴于此坑直接通往现代数学，是个无底洞，所以一开始不要挖太深。

六.离散数学初步（返璞归真——自然的一切真理都源自高明地数数 ）：

1.加法原理与乘法原理

2.排列与组合

3.古典概型

4.线性优化

5.矩阵乘法

6.算法流程与计算机程序

**搞定不了这一部分，请反复回炉重造；否则你若选择统计、金融或计算机这三个热门专业，会产生一种类似于农民刚进城的尴尬，就是会觉得自己虽然能干些活饿不死但特别土，即使运气好挣了钱也就是只壕。。。