可以找到两个质数，他们的比值最接近 π 吗？ 第1页
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jin-chi-zhong 网友的相关建议:
有人证明了两个素数相除也是稠密的。。。
所以任给一个实数x<π，必然能找到一对素数P,Q使得
所以答案是否定的。
rose5378192 网友的相关建议:
Mathematica对于该问题的解答
首先其他答主已经说明了，质数的比值是稠密的，因此显然答案是否定的（可以仿照极限的定义）。而整数与整数的比值，是有理数， 是无理数，因此两质数之比可以无限逼近 却不能与之相等。现用Mathematica探讨此问题。首先，只要有一个给定的「精度预期」，必然可以找出在该精度范围内最接近 的质数比值。需要说明的是，这个「精度预期」可以用分子的最大或分母的最大值来定义。鉴于答主极Low的Mathematica水平，这里采用比较易于编写的分子最大值为例。
先给出完整的代码
FractionList [ x_ ] := Table [ Prime [ x ] / Prime [ n ], { n , 1 , x }] p [ x_ ] := Flatten [ Position [ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ], Min @ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ]]][[ 1 ]] MinLossFraction [ x_ ] := FractionList [ x ][[ p [ x ]]] ApPiList [ x_ ] := Table [ MinLossFraction [ n ], { n , 1 , x }] MP [ x_ ] := ApPiList [ x ][[ Flatten [ Position [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ], Min [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ]]]][[ 1 ]]]] 大致的思路是：先找出以第 个质数为分子 ， 以内所有质数为分母的所有比值构成的List，然后再与作差，取绝对值。选出差最小的那一项所对应的比值。然后取一定范围以内的所有质数重复以上操作，再从中取最小值对应的比值即可
运行示例如下：
但这种算法的问题在于，需要先把所有可能的比值都算出来，再进行比较。这就造成了运算所需的时间被大大拉长，而实际上很多计算是不必要的。以本人老爷机的I5-4590为例，运算第120个质数以内最接近 的比值所需要的时间就有0.33s。如果再把精度提升，到了1000个质数以内，运算时间就会大幅度增加到41.52s之长。而这显然不利于高精度计算。
精度的分布
为了研究当分子大小变化时比值的精度情况（即与 的差的绝对值），现取第 到第 个质数作为分子，取以每一种情况下最接近 的那个比值的精度。
Table[Abs[MP[n] - Pi], {n, 1, 80}] 输出结果：{2.14159, 1.64159, 0.641593, 0.358407, 0.358407, 0.358407, 0.258407, 0.258407, 0.144122, 0.144122, 0.144122, 0.144122, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00766108, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583}
绘制成图像如下所示：
由图像可以看出，精度随「精度预期」的增加呈阶梯状下降。因为电脑运算能力有限，所以没能给出更加靠后的数据。
因此我们可以得出结论，随着「精度预期」的增加，
①可以得到越来越精确的质数之比，使得它更加接近于
②不存在一组质数 ，使得其比值恰好为 ，因为有理数 无理数
③永远都不会有一组质数的比最接近于 ，因为质数的比是稠密的
8.23 20：44
经过优化，现运算速度大幅度提高。修改后的代码如下：
FindRegion1 [ x_ ] := PrimePi [ Prime [ x ] / 3.2 ] FindRegion2 [ x_ ] := PrimePi [ Prime [ x ] / 3.08 ] FractionList [ x_ ] := Table [ Prime [ x ] / Prime [ n ], { n , FindRegion1 [ x ], FindRegion2 [ x ]}] p [ x_ ] := Flatten [ Position [ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ], Min @ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ]]][[ 1 ]] MinLossFraction [ x_ ] := FractionList [ x ][[ p [ x ]]] ApPiList [ x_ ] := Table [ MinLossFraction [ n ], { n , 4 , x }] MP [ x_ ] := ApPiList [ x ][[ Flatten [ Position [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ], Min [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ]]]][[ 1 ]]]] 优化方法是将分母的范围大大缩小，从原来的小于 的全体质数修改到了现在分子的 至 。这可以减少许多冗余的计算，从而提高运算速度。
新代码的运行时间如下：
只花费了1.51s，相当于原来的 ，而当「精度预期」更高时，时间的减少倍数将会越高。答主测试时，用旧代码运行 需要180s，而用新代码运行只需要4.5s。
值得注意的是，当用FindRegion函数进行范围缩小时， 在 ~ 的运算中，因为 过小，所以会出现“第0个质数”导致程序错误。而本身 ~ 精度旧非常低，没有什么实际意义，所以就将这三组近似的计算从程序中删除了。
8.24 9:03
非常感谢评论区@233所提供的思路。修改后的代码如下：
FindPrime1[x_] := PrimePi[Prime[x]/Pi] FindPrime2[x_] := PrimePi[Prime[x]/Pi] + 1 FractionPair[x_] := {Prime[x]/Prime[FindPrime1[x]], Prime[x]/Prime[FindPrime2[x]]} p[x_] := Flatten[ Position[Abs[FractionPair[x] - Pi], Min@Abs[FractionPair[x] - Pi]]][[1]] MinLossFraction[x_] := FractionPair[x][[p[x]]] ApPiList[x_] := Table[MinLossFraction[n], {n, 4, x}] MP[x_] := ApPiList[x][[Flatten[ Position[Abs[ApPiList[x] - Pi], Min[Abs[ApPiList[x] - Pi]]]][[1]]]] 改进的地方在于，当分子确定时，分母的取值范围已经缩小到了只有两个数，即不超过分子除以 的最大质数以及大于分子除以 的最小质数。这就导致了对于每一个 ，所需要做的除法只有两次。按照目前的测试，计算 只需要0.3s，而计算 也只用了3.8s。
如果有更好的算法，可以在评论进行回复
重磅！！！
经过接近9小时的运算，答主已经将 的值算了出来。截图如下：
有需要的读者可以复制结果进行使用。
jin-bo-luo 网友的相关建议:
最高票答案的素数之比稠密并不是多难证明的问题，这就是个素数定理的简单推论，评论里不能写公式，单写一下证明吧：
素数定理
给定任意正数 ，都有：
极限大于1，说明只要x足够大， 和 之间必然有至少一个质数。
利用这个，对于任意正实数a，给定任意邻域大小 ，找一对素数p,q满足
怎么找，很简单，转换一下：
所以根据前面的结论，只要aq足够大（先找一个足够大的质数q）， 和 之间必然有一个质数p，证毕。
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