把一个区间连续单调地映射到同一区间,有一个普遍方法,就是图像处理中的 校正
(Gamma correction)。考虑函数 , 对任意 , 有 且 在 区间内连续单调。通过调节值的大小,可以调节函数在区间内上升的缓急。
如果映射的区间不是 怎么办呢,如一般分数的值是 , 此时只需要用一个线性变化把值先转换到 之间,用 变换处理一遍,再用先前的线性变换的逆变换回到相同区间。对于分数 映射到新的分数 .
整理好得
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这是一个 的伽马校正。
为什么选 ? 因为开根号是一个简单的操作,就算在没有计算器的时代还可以手动演算,如果是 那就远没如此容易了。现在有计算器了,这里不需要太过拘泥,假如你当老师,想让 48 分以上的同学都及格,而不是 36 分以上,那只要求解 即可。
如果满分不是 100, 而是 120 或者 150 呢,也只需要把上式的 100 替换成实际分数即可。
调分函数要满足以下几个条件:
1. 严格递增。
2. 上凸。
3. 零分和满分为不动点。
根号乘十就是这种函数中比较简单的一个。