薛定谔方程与狄拉克方程的区别是什么？ 第1页

这个很笼统啊，能说多少是多少吧

薛定谔方程：

狄拉克方程：

观察这两个方程的形式，形式上的差别主要有以下几点

1 薛定谔方程对于时间和空间的导数的阶数不一致，导致了如果和狭义相对论结合会有问题。

2 狄拉克方程是四分量的，方程里面的也都是四维的矩阵。

3 多余的自由度，使得狄拉克方程中的可以用螺旋度和哈密顿量的共同本征态来标记。这样它就可以包括自旋的结构以及负能解。狄拉克为了解释负能解引入反粒子，这些都是薛定谔方程没有的。

4 就是色散关系的不同，这一点前面的答案也提过了。正是因为线性色散的原因，在石墨烯中是可以存在狄拉克型的方程的（狄拉克点），而且有意思的是它是在非相对论情况的。

狄拉克方程正确的理解应该认为是一个场方程，薛定谔方程也可以理解成一个场方程只不过它不可重整化，在高能下不能用于描述物理，狄拉克方程可以看作是它在高能下的推广。

科研做不动来答个题。其他答主已经把 Schrodinger 方程与 Dirac 方程的区别讲的很清楚了，包括：Dirac 方程对时间和空间导数的阶数是一致的，它是相对论性的波动方程；Dirac 波函数是 4-分量的，它在 Lorentz 变换下满足旋量 (半阶张量) 的变换规律，从而 Dirac 方程具有 Lorentz 不变性；Dirac 方程可以描述带自旋的粒子 (电子)，得到负能量解。下面我主要想从 PDE 的角度谈谈两者数学结构的不同。

• Schrodinger 方程的数学结构

对于单粒子 Schrodinger 方程

可以发现它兼具热方程和波方程的性质。最简单的以自由粒子为例，此时 Schrodinger 方程写为

可以很明显的看到，这和热传导方程的形式几乎一样，唯一不同的是系数 是纯虚的。设

代入 Schrodinger 方程，分离实虚部，得到方程组

进一步令 可以把它们写成矩阵的形式

其中系数矩阵特征值纯虚，因此不是传统意义上的抛物型方程，称为退化抛物型方程组。

下面说明 Schrodinger 方程和波方程性质的相似之处，即时间反演不变性。通常的热方程描述的是热传导和扩散现象，因此是不可逆过程。而对于 Schrodinger 方程，可以简单验证如果 是 Schrodinger 方程的解，那么 也是它的解，也即沿着时间正负向 Schrodinger 方程的可解性相同，因此在求解 Cauchy 问题时，其解算子半群真的构成一个群。

说道 Cauchy 问题，这里就来谈谈如何利用基本解得到一维自由粒子 Schrodinger 方程 Cauchy 初值问题的解。之前说了 Schrodinger 方程与热方程形式上几乎一样，因此形式地可以通过热方程的基本解得到 Schrodinger 方程的基本解，也即直接用 替代热方程基本解里面的 ，得到 Schrodinger 方程的基本解为

其中 是 Herviside 函数。而初值为 的 Cauchy 问题的解为

可以看到，它与热方程的相似之处还在于，初值的小变动在任意短时间内可以影响全直线。

• Dirac 方程的数学结构

对于 Dirac 方程组

是复向量值函数，系数 式对称正定， 是 Hermitian 矩阵。这种形式的一阶 pde 称为一阶 Hermitian 双曲型偏微分方程组，它与一阶对称双曲组的性质与解法几乎一样，都是依赖于能量估计方法。

【对于一阶对称双曲组

其中 对称正定， 对称，可见它与一阶 Hermitian 双曲组结构几乎一样。事实上，令 ，Maxwell 方程组就可以写成一个一阶对称双曲组。利用能量估计方法解 Cauchy 问题 需要过 做弱类空超曲面 (类似于波方程里的特征锥)，即要求 上除 点外光滑，并且 半正定 (顶角很大的锥)，其中 是其法向量。记 平面被 截出来的区域为 ，曲面 夹在 之间的部分为 ，包围的区域为 ，如下图

在这个区域里面考虑双曲组，用 乘双曲组，并且在 上积分，利用 Green 公式，得到

其中 利用 的正定性，区域的有界性，以及 的弱类空性，对上面每一个积分做估计，最终可以得到下面的能量估计式

上式保证了 Cauchy 问题解的唯一性。考虑 在 点的值 ，取过 点的弱类空锥

其中 充分大，由上面的能量估计， 只依赖于 在 上的值，也即初值的扰动具有有限的传播速度，这体现出方程的双曲性。】

现在考虑作为一阶 Hermitian 双曲组的 Dirac 方程，定义 Dirac 波函数 ，概率密度为 . 考虑 Cauchy 初值问题 ，与一阶对称双曲组类似地，我们做光锥面，记 其与平面 的交为 ，此时依然有类似于能量估计的不等式

上式保证了 Cauchy 问题解的唯一性。可见， Dirac 方程初值的扰动传播速度不能超过光速，这是与 Schrodinger 方程的一个重要区别。