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如何理解“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”所代表的实际意义? 第1页

  

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搬运我在另一个问题下的回答 Richard Yan:时域的卷积傅里叶变化后变为相乘应该怎样理解?

因为这个回答里讨论的是时域信号,故以下使用的是一维连续信号。事实上对于高维/离散信号也适用。


起初,我们有度量两个信号相似程度的相关运算 :


然而,相关运算有一些缺点:

首先相关运算不是交换的,i.e., 与 的相似程度一般来说不等于 与 的相似程度:


类似的,相关运算也不结合: 。

因此,用相关运算作为“相似性”的度量显然是不够好的。于是我们另外定义运算 :


这个运算被称为“卷积”。我们可以注意到,卷积运算是交换的:


另外,卷积也是结合的:


除此以外,卷积还有以下性质:


1. 运算幺元

2. 线性:

3. 存在逆元

本文并不打算说明怎样求逆

4. 时不变性

5. 导数

定理:卷积是唯一在时域信号上满足线性和时不变性的运算。


可以发现,卷积运算具有很好的性质。如性质 5 被广泛用于图像识别的神经网络(CNN)(事实上CNN 用的是相关而非卷积)。


接下来,假定读者了解傅里叶变化,我们来看看将卷积傅里叶变化后会得到什么:

因此,卷积的傅里叶等于傅里叶的积。


类似地,也可以证明积的傅里叶等于傅里叶的卷积。


这样的大费周章是为了简化数值计算的复杂度。


假设 ,那么直接做卷积运算的复杂度是 。而若通过 求卷积,复杂度是 。




  

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