什么是 Ising 模型？ 第1页

马上庚的《临界现象现代理论》有一段精彩的讲解，就是如何搭建一个描述（铁磁）相变的模型。^[1]

大意如下：我们最熟悉的模型是原子级可分辨的，但要考虑铁磁相变，晶胞里包含原子核和电子，原子核和电子、原子核和原子核、电子和电子之间有库伦力相互作用。这种模型显然足够精确，但是由于相变时关联长度极大，用这种模型过于复杂了。粗糙一点的办法是根据磁性的来源，部分自由电子运动在晶格形成的有效势场里（感觉这也是分子力场中partial charge的思想，把一套复杂的电子结构和原子核浓缩为一个带有有效参数的质点），有效势场由原子物理学和固体物理学相关研究确定。这样复杂度没减少多少。再粗糙一点的模型，可以给每个单胞一个总的经典的自旋，这样问题可以大为简化。这时候量子效应、电子运动，以及相当多的晶体真实细节都被忽略了。模型中关键的问题是自旋-自旋相互作用。由此出发，就自然的会想到Ising模型（海森堡模型也是这个级别），这个模型中自旋只有正负1/2，单胞是简单的正方形晶格。而此模型仍然具有一定的复杂性————要考虑大量的格点，在单胞内做相当粗糙的近似对如此大尺度范围的问题影响甚微。在临界现象研究的尺度上来看，第三级模型的微观程度，实际上跟前两级模型的微观尺度是一样的。更加粗粒化的模型是把 个只包含一个自旋的单胞组合成一个超胞，只包含一个有效自旋。这里 从2开始，可以增加到多大，并无一般的结论。不出意外最后这一级的粗粒化模型是Kadanoff开创的。（kadanoff 1966,1967）

这段一层一层对问题进行简化、直到得到一个足够简单的有效模型的朴实思想，坦白模型建立的思路，我至今仅见于马上庚的这本书。

参考

1. ^ Shang-Keng Ma,Modern Theory of Critical Phenomena, Westview Press 2000, pp. 41