为什么麦克斯韦的电磁理论在玻尔的原子模型里不成立？ 第1页

写一个简单的估算吧。^[1]详细的经典电子运动轨迹咱也不会算，后边仅给出简单的讨论，期待电动力学学的好的小伙伴更精密的计算。我小时候第一次感兴趣这个问题，是在读杨福家的《原子物理学》的时候。当时也没在别的地方看到过类似讨论，觉得十分有意思。不过现在看来，杨福家写的这个讨论是过于简陋了。所以后边还有进一步讨论。

正文之前还要说一下，基态氢原子中，电子的de Broglie波长为

所以本质上是不能用经典电动力学+牛顿力学讨论电子的运动的。

好消息是，氢原子基态能标下，与氢原子中的电子相互作用的电磁场仍然可按经典电磁场处理。

坏消息是，氢原子中的电子必须用量子力学处理。而对于重原子中的电子，需要用Dirac方程处理，至少也需要使用基于相对论量子力学开发的赝势。

一 杨福家的讨论

因为半径改变的计算涉及到求解Maxwell方程组，我是不熟悉的（2020年总算会了一点）。只能先假设电子确实绕着原子核做匀速圆周运动，半径先给他定住，算是初始半径，然后再估算电子从一开始到跌落进原子核的一个平均时间这样子而已。

本段内容使用平均时间、平均速度等高中生喜闻乐见的物理量，避免了求解微分方程。但是不好想到的内容是引入了氢原子中电子的角动量来辅助计算，先把速度、加速度和绕转半径都换成角动量来表示，推导出最终结果，最后再把这个量消去。

先考虑电子绕原子核匀速圆周运动，向心力和库伦吸引力平衡，各常数意义自明，电子绕核运动半径为 ：

常数太多，改成Gauss单位制，

考虑角动量（这里使用了角动量就是为了简化公式，最后还是要回到距离 ）：

改写一下上边圆周运动公式：

再简单变换得到一个 的表达式：

匀速圆周运动的加速度：

根据经典电动力学，^[2]非相对论情况下，单位时间内辐射的能量，即功率为坡印廷矢量大小的球面积分（这部分内容也是超出高中知识的，好在只需要一个公式即Lamor公式，高中生当成基本假设就好了。详细讨论见附录）。

好了，对于高中生来说，只需要知道Lamor公式：

假定电子动能耗尽所需要的时间为 ，则根据能量守恒（这里忽略了势能，是高估掉落时间的一个误差来源。具体请看下边进阶内容的计算）：

又根据

引入电子经典半径（讨论见附录2）：

氢原子大小为

则对于氢原子 ，可以估算出电子做螺旋式运动落入核内所需时间：

所以按照卢瑟福模型，原子的寿命十分之短，不可能稳定存在。

二 稍微定量一点的进阶讨论

进阶内容^[3]：已知Lamor公式、电子经典半径公式，仍然以匀速圆周运动讨论，即角向加速度远小于径向加速度：

而Lamor公式说的实际上是单位时间能量减少：

代入

和

可以得到：

再考虑能量的表达式（这里严格考虑了动能和势能。也能发现Virial定理）：

把(2)式中动能对时间求微分，再跟Lamor公式(1)联立：

得到电子运动半径随时间变化的常微分方程：

即

因为假设初始时是一个氢原子，初始半径就是玻尔半径。解得：

可见电子会加速下落，离原子核越近下落越快。

已知 最终会变为零，所以可以求得这个电子掉落进原子核的总时间，比刚才估算的小了三倍：

这个稍微精确一点的计算显示，氢原子寿命比估算的更短。估算值数量级是正确的。

进一步讨论可以考虑角向加速度的影响、相对论效应的影响，^[4]特别是对于重原子，其核电荷数较大，电子在核周围受到的库仑力可将其加速到接近光速，此时一定要考虑相对论效应。

可能有的读者对相对论修正感兴趣，抄一下结论（注意正经的相对论讨论，质量是指静质量，相对论效应用 显式表示）：

经讨论，相对论效应带来加速度的修正：

但是功率不变，因为分子分母都包含相对论修正，微分后抵消：

代入各项，得到修正后的Lamor公式：

然后可以得到新的描述电子绕转半径的随时间变化的微分方程：

可见考虑相对论修正后，用Taylor展开取到主要部分，比非相对论极限结果多出一个修正因子 ，对应掉落时间减小。下图展示了数值计算的结果，确实如此。时间只需

三 附录：

1. 坡印廷矢量的讲解^[2]

称为Lamor formula。

在一个方向上坡印廷矢量的模为：

考虑电子的辐射功率，以电子为中心，距离电子 处球面的积分值（此值有特定名称Lamor公式）为：

感谢 @卢健龙 指出，详细讨论这个能量密度的话， 跟两个角度 都有关。有进一步兴趣还是需要查阅J. D. Jackson的Classical Electrodynamics。

2. 电子经典半径（高斯单位制）：[5]

根据库仑定律，假设电子具有一定体积，则其拥有自能：

假设这个自能来自爱因斯坦质能关系

上边两式相等，则可得到经典半径：

进一步的推导可以参考John Baez, Length Scales in Physics：

1. ^ 杨福家，原子物理学，第三版，2000，pp. 26
2. ^ ^{a b} Melvin Schwartz, Classical Electrodynamics, Dover 1987, pp. 221
3. ^Online Course of Classical Electrodynamics http://physics.usask.ca/~xiaoc/phys463/notes/n19extra.pdf
4. ^Kirk McDonald's online course http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/orbitdecay.pdf
5. ^ David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics 3rd ed. (2018), Problem 4.28