有哪些嵌套了好几层逻辑的经典故事？ 第1页

博弈论一道有趣的入门题：

一船五个海盗抢了一百个金币，他们分金币的规则是：五个人依次提出一个分金币的方案，然后所有人投票表决。如果方案得票大于一半，按方案执行；如果方案得票小于等于一半，提议的人被扔下海处死，轮到下一个海盗提出议案。假设所有海盗绝对独立且绝对理性，都想在活着的情况下拿到尽可能多的金币，问第一个提议的海盗能得到的金币最多是多少？

答案是第一个海盗可以拿到97枚。想想为什么吧

想想再看答案吧。

其实不难。

记住博弈论的解题思路是根据别人必然作出的假设倒推自己的最优解。

原因如下：

倒推。

若果场上只剩下两个人，前三个人的方案都被否决，那么第四个人无论提什么方案，第五个人都会否决，这样1:1，不过半数，第四个人必然被处死，第五人独自占有所有金币。

因为所有海盗绝对聪明，且活着优先于拿金币，则第四人为了避免自己死亡，会极力赞成第三人提出的任何方案，以避免第三人死亡和上一段所描述的自己的必死结局。

因为所有海盗绝对聪明，所以第四个人的心态第三个人很清楚。所以一旦前两个海岛被处死，第三人必然提议的分发是：100:0:0。投票结果，三号自己支持，四号为了不死也支持，五号反对。投票通过，三号独得100金币。

因为所有海盗绝对聪明，所以后三个人的心态二号也很清楚。所以一旦一号海盗被处死，二号可以很好的利用之前所描述的自己被处死后的必然结局。所以二号可以议题分发为：

98，0，1，1

相比于三人存活场景，三号什么都分不到必然反对；但四号五号各多得了一枚金币，好于处死二号后自己一无所有的必然结局。所以绝对聪明的四号五号只能选择支持二号的这一提案。投票结果：三比一，过半，得以执行。

终于倒推到一号海盗了：

因为所有海盗绝对聪明，一号一旦死亡后的必然结局大家都知道，包括一号自己。所以一号可以提出以下方案，以拿到五人中的三票支持：

97，0，1，2，0

或

97，0，1，0，2

相对于一号死后的必然结局：

0，98，0，1，1

三号可以多拿一枚金币，四号或五号中的一人可以多拿一枚金币，所以后面四人中有两票支持。加上提议的一号海盗，总票数：三比二，通过。

结论：假设所有海盗独立想活且绝对聪明，一号拿到97枚硬币

这个小游戏勉强算是四层逻辑吧，当然无聊的话可以通过增加海盗人数和金币数量无限的推演下去。

除此之外：博弈论和纳什均衡呗，多次博弈出的最优解。还有其他类似的理论敬请告知。

能展开的就太多了：

比如定价，或者更广义上讲商业模式。更精彩的故事可以上百度找google搜商业模式创新案例，创业公司之间的相互（跨界）打劫。比上面的故事好看多了

华裔数学家陶哲轩讲的一个故事：

在一个与世隔绝的小岛上，住着1000名岛民。在这1000名岛民中，有100人眼睛是红色的，剩余900人的眼睛是蓝色的。岛民们信奉着一种奇怪的宗教，并且共同遵守着这种宗教中一些奇怪的规定：

1）每个人都不可以知道自己眼睛的颜色，也不可以和别人谈及这个话题（但可以看到别人眼睛的颜色）；

2）如果一个人不幸知道了自己眼睛的颜色，他必须于第二天正午时分在岛中的小广场上，当着所有人的面自杀。

虽然有着这种奇怪的宗教规定，但由于大家都不会谈及这个话题，再加上岛上也没有镜子，许多年来岛民们倒也一直过着平静而快乐的生活。

直到有一天，一名红色眼睛的外来者造访了这座小岛。

这名外来者受到了岛民的热情款待，在岛上度过了一段美妙的时光。在外来者离开小岛的那一天，所有的岛民都聚集在了小广场和他告别。外来者感谢了岛民们对他的款待，告诉他们自己度过了生命中最快乐的一段时光。在最后，他说：

“尤其让我开心的是，没想到在这么遥远的小岛上也能遇到和我一样红色眼睛的人。”

这句话让现场的空气立刻凝固了起来。岛民们收起了笑容，开始心事重重地互相打量着对方。

外来者发现自己说错了话，但转念一想，自己并没有告诉岛民们任何新的信息，他们每个人本来就知道岛上有红色眼睛的人啊！

这让他减轻了不少负罪感。带着这种想法，外来者和岛民们愉快地挥手告别，扬帆远去。

在外来者离开小岛100天后，岛上100名红色眼睛的岛民一起来到了小广场上，在这一天的正午时分集体自杀了。

==========想看推理过程的请继续往下读==========

我们从最简单的情况开始，逐步推导到复杂的情况。

首先假设岛上只有一个红眼睛的人。这是最简单的情况，因为这个人一个红眼睛也看不到，所以立刻就会知道外来者口中说的红眼睛就是自己。

接下来考虑岛上有两个红眼睛的情况。

好，假设这两个红眼睛是A和B。在听到外来者的话后，他们四周一看，每个人都只看到一个红眼睛（A看到B，B看到A）。他们两个都会看着对方，心想：“这个可怜的倒霉蛋，明天中午就要自杀了。”

然后到了第二天中午，A和B都等着对方自杀，却发现这一天没人自杀。于是，他们明白了唯一的可能性：自己也是红眼睛！所以对方在等着自己自杀！

所以，有两个红眼睛的情况下，他们会在外来者离开2天后一起自杀。

我们再来看三个红眼睛A，B，C的情况。在听到外来者的话后，他们四周一看，每个人都看到了两个红眼睛。他们中的每一个人都会想：“这两个可怜的倒霉蛋，这下得自杀了。不过，我知道这两个人不会明天就自杀，得两天后才会自杀。因为他们需要两天才能推理出自己是红眼睛。”

两天后，三个人都来到了小广场上，等着另外两个人自杀，却发现这一天没人自杀。于是，他们终于明白了唯一的可能性：自己的眼睛也是红色的！

所以，有三个红眼睛的情况下，他们会在三天后一起自杀。

⋯⋯

……

⋯⋯

所以，有100个红眼睛的情况下，他们会在100天后一起自杀。

接下来，我们再来讨论一下大家都很关心的问题：外来者到底有没有往岛上引入新的信息？

答案是：有的。

还以两个红眼睛A和B作为最简单的例子。在外来者出现以前，他们俩都知道岛上有红眼睛的人。但是，A不确定B知不知道岛上有红眼睛的人。所以，A也不会期望B去自杀。

外来者说了那句话之后，一切都不一样了。A知道现在B一定知道岛上有红眼睛的人了，所以A会期望B去自杀，然后推理出自己也是红眼睛。

三个红眼睛A、B、C的情况：在A的眼中，岛上的情况就是两个红眼睛的情况，对吧？所以呢，在外来者出现之前，A是不确定B知不知道C知道岛上有红眼睛的。外来者说了那句话后，A知道现在B一定知道C知道岛上有红眼睛的人了。（听起来有点绕，大家慢慢读几遍就懂了）

其实三个红眼睛的情况只是在两个红眼睛的推理过程上多嵌套一层而已。简而言之，外来者的出现让A知道了B知道C知道岛上有红色眼睛的人。

那么四个红眼睛呢？在三个红眼睛的推理上再多嵌套一层就可以了。

总之，外来者引入了新的信息，因为“每个人都知道”和“每个人都知道，并且每个人都知道别人知道”是不一样的。

举个例子吧：

在一个办公室里，老板有两个秘书，每个都跟老板有一腿，但每个人只知道自己这一腿。

这是状态一。

好了，老板有一天，当着两个人的面说，你们俩至少有一个跟我有一腿。

这是状态二。

你应该能看出来，这两个状态截然不同吧？虽然看起来，老板没带来什么新的信息，每个人本来就知道至少有一个人跟老板有一腿。但是在状态二下这两个秘书会怎么想呢？她们会想：“靠，如果另外一个人跟老板是清白的，那她就一定知道我跟老板有一腿！”

明白了吗？老板这一句话看起来没有新的信息，但其实是有的。

在博弈论里，如果所有的人都知道一件事情，那么这件事情是大家的共有知识（Mutual Knowledge）。但每一个人不一定知道别人是不是也知道这件事。

如果所有的人不但知道一件事情，并且也知道所有人都知道这件事情，那么这件事是大家的公共知识（Common Knowledge）。

那个外来者所做的，就是把一件共有知识变成了公共知识。

在两个红眼人的情况下，外来人带来的是一个一阶的公共知识：A知道B知道岛上有红眼人。

三个红眼人的情况下，外来人带来的是一个二阶的公共知识：A知道B知道C知道岛上有红眼人。

⋯⋯

100个人的情况下，外来者引入来一个99阶的公共知识。

鉴于评论中还是有人无法理解，答主在这里做最后一次的努力，用数学归纳法重新推导一遍。

岛上的人之所以会自杀，是因为他们数学都很好，每个人都能推理出这样一条定理：在外来者说了“岛上有红眼睛”这句话后，如果岛上有n个红眼睛的人，那么他们会在第n天一起自杀。

下面我们来推导一下这条定理。

n=1的时候，显然成立。

n=2的时候，也显然成立（上面已经讲过了）。

那么，我们现在假设n=k的时候定理成立，如果能我们能证明这条定理在n=k+1的时候也成立，那么这条定理就对任何正整数都成立。（不要问我为什么，这就是数学归纳法）

好，岛上现在有k+1个红眼人，每个人都能看到k个红眼人。由于他们已经知道了k个红眼人会在第k天自杀这个定理，所以他们会一起等到第k天。由于每个人都在等其他人自杀，所以这一天中午没人自杀。但是这显然又违反了“k个红眼人会在第k天自杀”这个定理，那么唯一的可能性就是，红眼人并不是k个，而是包括自己在内的k+1个。每个人都明白了自己也是红眼人，根据宗教规定，这k+1个人在第k+1天一起自杀。

证明完毕。

我看到评论中很多人承认在2个、3个红眼人的情况下外来者确实带来了新的信息，但一旦超过3个，他们就说这是错的。为什么这些人会这样想呢？

在2个红眼人的情况下，外来者带来的是一个“一阶公共知识”，也就是“A知道B知道岛上有红眼人”。

在3个红眼人的情况下，外来者带来的是一个“二阶公共知识”，也就是“A知道B知道C知道岛上有红眼人”。

一直到这里为止，人脑都还能想象出这种情况。但一旦人数超过3，人的直觉就很难去理解这种情况。你的直觉会告诉你“每个人都已经知道岛上有红眼人了呀~~~”

这时我们只能依靠数学、相信数学。人脑想不出来的情况，用数学可以推理出来。你试着想象一下20维空间，肯定想象不出来。但我们用数学可以描述20维空间，很容易，很直观。

总之，在100个红眼人的情况下，外来者带来了一个99阶的公共知识，导致大家开始链式反应。这个99阶的公共知识是“A1知道A2知道A3知道……知道A100知道岛上有红眼人”。

如果还不相信，可以看维基百科这个词条，里面举的就是这个例子：

Common knowledge (logic)

如果你看完这个词条还是觉得错了，你可以给维基百科管理员写信，告诉他这个词条错了，然后试着让他把这个词条改了。

答主的解释能力已经到了极限。如果还看不懂的话，我也没有办法了。但其实也不用纠结，并不是每个人都需要有这种逻辑推理能力。如果你最后能想通并从中获得一些乐趣，那是最好不过。如果最后没想通，也无所谓！

附上评论区FAQ：

评论：答主的故事没写完，900个蓝眼人会在第101天自杀！
回答：并不会，他们只是能确定自己不是红眼而已，还有可能是黄眼、绿眼、黑眼……

评论：答主漏了一条重要的预设条件，没有说清岛民并不知道岛上红蓝眼的具体数量！
回答：这不是预设条件，这是根据故事的上下文可以推理出来的必然的结论。如果他们知道数量，在第一天就全死光了，不用等到外来者来。

评论：楼主写的不错，但是如果能写一下三个红眼人的情况就更好了。
回答：……你真的有看完吗？我不是已经写了吗？

评论：外来者没有带来新的信息啊，哪里有新的信息，没有啊！
回答：合着我回答里那么多字都是白写了是吧，我不是说带来了一个99阶的公共知识吗！

评论：楼主的推理错了！不过我也说不清错在哪。
回答：哈哈哈！今天天气不错啊，午饭吃过了吗？

==========自己的一点感想==========

这个回答远不是我写过的最高票的回答，800多条评论也不是我收到过的最多的评论，但是写这个答案是让我最感慨最多的。

首先，我想说的是知友这种态度很好，不会因为这个题是数学家出的就盲目地相信，而是提出自己的想法，这非常好。这也是知乎的精神。然后这么多人评论没有人骂人、说脏话，这在中国互联网上是非常难得的，让我们一起来维护知乎这个社区。

但是，我最感慨的是，人和人之间的思维方式竟然可以差别这么大。在最开始写下这个答案的时候，我只写了前面的故事，后面根本就没有写解释。因为我觉得这个问题在互联网上很多地方都查得到，想不明白的人搜一下就知道了。如果是程序员之类的职业，可能第一次看就自己推导出来了。

后来看到有人在评论里问，我就简单写了下解释，然后大家问的问题越来越多，我的解释也越来越详细，还被迫想出了一个不是很贴切的秘书和老板乱搞的例子来说明共有知识与公共知识之间的区别。我一向不喜欢在回答中写公式，但最后也没办法，写了数学归纳法的推理过程。我一度觉得我这个解释已经非常非常详细了。

然而，还是有很多人来跟我说，答主你错了，不是这样的。然后我有那么几分钟觉得很沮丧，我都写得这么详细了，竟然还有这么多问题。

静下心来之后，我总结了一下。在评论里想不明白这个问题的人都有一个共同的特点，那就是他们不习惯数学的这种推理思维。数学强调的是论证严密、环环相扣，你要从一个已知条件出发，推导出第一个结论，然后再推导出下一个结论，直到最后的结果。

但评论里一些知友并不习惯这样的思维方式。比如有人跟我说，岛上有100个红眼人的话，用不到外来者出现，第3天他们就全部自杀了，所以你的推理不成立！那么你怎么得出这个结论的？能不能给我讲讲，他们为什么第三天就都自杀了？肯定讲不出来。他只是在自己的脑海中随便生成了这样一个结论，然后就在这个结论上去做自己的推理。

还有人跟我说，你的那个归纳法不对！当n>3的时候就不成立啦！为什么n>3的时候就不成立呢？怎么得出这个结论的呢？也许就是脑子里大概想了一下，觉得他们不会去自杀呀，所以不成立啊。

最让我无语的一条评论是：“答主，你的推理肯定是有问题的，不过问题在哪具体我也说不上来……”

毕竟，这是一个数学故事。大家如果想要弄明白这个问题，一定要用数学的思维去思考。

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