更新:本人编写的程序因为使用的算法比较初等,写的比较繁琐,速度其实也不太快,算到500烷的时候明显就算不动了,好几分钟算不出来一个。最新更新网上找到的程序,使用波利亚计数定理,把代码(不算注释)压缩到了只有17行,又利用了python的缓存机制,大大提高了速度,普通笔记本电脑算到1000烷无压力。
#!/usr/bin/python3 from functools import lru_cache def Z_S(n, f, k): """ The cycle index of the symmetric group has recurrence Z(S_n, f(x)) = 1/n sum_{i=1}^n f(x^i) Z(S_{n-i}, f(x)). This function finds the coefficient of x^k in Z(S_n, f(x)) """ # Special case to avoid division by zero if n == 0: return 1 if k == 0 else 0 # Special case as a speed optimisation if n == 1: return f(k) return sum( sum(f(ij // i) * Z_S(n-i, f, k - ij) for ij in range(0, k+1, i)) for i in range(1, n+1) ) // n @lru_cache(maxsize=None) def A000598(k): return 1 if k == 0 else Z_S(3, A000598, k-1) @lru_cache(maxsize=None) def A000642(k): return Z_S(2, A000598, k) def A000631(k): return Z_S(2, A000642, k) def A000602(k): return A000642(k) + (A000642((k-1) // 2) if k % 2 == 1 else 0) - A000631(k-1) for k in range(1001): print(k, A000602(k))
输出结果:
……
998 932334104327059210339886247294517156582301363686090502018655071937956438858634402944072493053870525931341793353385039822444502500148232956512991014839821310349212181501026586446269929096006728108831503747071240811146755967075885686846355962258581504463149773628297820787246963935755338913551589937176634217237178244672076000800313425362647252797747775431289975516335535038919632317808465948976487539891162121445336732826415122014116760470216
999 2618385292322305756631684723309483465173466965866267567714827760411053716675313035825023957077015609810931875264304221190920208946800677835389091506138732767337659557713844461284123777820357540624985325893744973945449041008185988975074610155837616916483055109783096251830684133003826025985729988515229886762259225653462935652533102626381046390222379368317638688998228284641510703412440270742166725450543302639466924242546730956133252797239238
1000 73535427719085205624005711400038036158183109301677218945485369141845635640573453701263845962742477343520480890987107262172367207720895210315757000807919196141436836116918511885023864516826698681984903920384690953448773397926210679818516514859136969759121567
原答案:
# 找到把自然数n分为k个不小于start的自然数之和的全部分拆 def partition(n, k=2, start=0): if start * k > n: return "Error!" result=[] if k == 1: # 分成一部分,只需输出[[n]]即可 return [[n]] for t in range(start, 1+(n//k)): L0 = partition(n-t,k-1,t) L1 = [[t] for m in range(len(L0))] resultpart = [L1[i]+L0[i] for i in range(len(L0))] result = result + resultpart return result # k=2,start=1 def part2from1(n): return partition(n,2,1) # k=3,start=0 def part3(n): return partition(n,3) # k=4,start=0 def part4(n): return partition(n,4) # 把2-分拆按照分成的数是否相同分类,不同为0型,相同为1型 def typ2(L): if L[0] == L[1]: return 1 return 0 # 把3-分拆按照分成的数是否相同分类,不同为0型,有两个相同为1型,三个都相同为2型 def typ3(L): if L[0] == L[1] or L[1] == L[2]: if L[0] == L[1] and L[1] == L[2]: return 2 return 1 return 0 # 把4-分拆按照分成的数是否相同分类,不同为0型,有两个相同为1型,有两对相同为2型,有三个相同为3型,四个都相同为4型 def typ4(L): if L[0] == L[1]: t1 = 1 else: t1 = 0 if L[1] == L[2]: t2 = 1 else: t2 = 0 if L[2] == L[3]: t3 = 1 else: t3 = 0 if t1 + t2 + t3 == 3: return 4 if t1 + t2 + t3 == 2: if t2 != 0: return 3 return 2 if t1 + t2 + t3 == 1: return 1 return 0 # 递归求出0到n-烷基的同分异构数,输出一个list def wanji(n, is_list=False): # L是一个三元数组[a,b,c], 代表烷基自由端连接的碳原子连接的三个烷基的碳原子数 # 我们求L型烷基的数量,M用于记忆前面的计算结果 def wanjioftype(L, M): if typ3(L) == 0: return M[L[0]] * M[L[1]] * M[L[2]] elif typ3(L) == 1: if L[1] == L[2]: u = M[L[1]] v = M[L[0]] else: u = M[L[1]] v = M[L[2]] return u * (u+1) * v//2 else: u = M[L[0]] return u * (u+1) * (u+2)//6 # 0-烷基和1-烷基都只有一种 M = [1] if n == 0: return M M.append(1) if n == 1: return M for k in range(2,n+1): # 把烷基自由端连接情况分类 LL = part3(k-1) sum = 0 for L in LL: if is_list == True: print(L, "型: ", wanjioftype(L,M), "种,") sum = sum + wanjioftype(L,M) M.append(sum) return M # 由烷基的同分异构数,递归求出标碳n-烷(即有一个碳原子有标记的n-烷)的同分异构数 def biaotanwan(n, M, is_list=False, is_multiple=True): # L是一个四元数组[a,b,c,d], 代表烷烃中标记的碳原子连接的三个烷基的碳原子数 # 我们求L型标碳烷的数量 def biaotanwanoftype(L): if typ4(L) == 0: return M[L[0]] * M[L[1]] * M[L[2]] * M[L[3]] elif typ4(L) == 1: u = M[L[1]] v = M[L[2]] w = M[L[3]] if u == v: v = M[L[0]] if v == w: u = M[L[2]] v = M[L[1]] w = M[L[0]] return u * (u+1) * v * w//2 elif typ4(L) == 2: u = M[L[0]] v = M[L[3]] return u * (u+1) * v * (v+1)//4 elif typ4(L) == 3: u = M[L[0]] v = M[L[3]] if L[0] == L[1]: return u * (u+1) * (u+2) * v//6 else: return u * v * (v+1) * (v+2)//6 else: u = M[L[0]] return u * (u+1) * (u+2) * (u+3)//24 def solve(r): # 没有0-标碳烷 if r == 0: return 0 # 把标记碳原子连接的四个烷基的情况分类 LL = part4(r-1) sum = 0 for L in LL: if is_list == True: print(L, "型: ", biaotanwanoftype(L), "种,") sum = sum + biaotanwanoftype(L) return sum if is_multiple: return [solve(r) for r in range(n+1)] else: return solve(n) # 由烷基的同分异构数,递归求出标键n-烷(即有一个碳键有标记的n-烷)的同分异构数 def biaojianwan(n, M, is_list=False, is_multiple=True): # L是一个二元数组[a,b],表示标记的碳键两端的两个烷基的碳原子数 # 我们求L型标键烷的数量 def biaojianwanoftype(L): if typ2(L) == 1: return M[L[0]] * (M[L[0]] + 1)//2 return M[L[0]] * M[L[1]] def solve(r): # 没有0-标键烷,也没有1-标键烷 if r == 0 or r == 1: return 0 # 把标记碳键连接的两个烷基的情况分类 LL =part2from1(r) sum = 0 for L in LL: if is_list == True: print(L, "型: ", biaojianwanoftype(L), "种,") sum = sum + biaojianwanoftype(L) return sum if is_multiple: return [solve(r) for r in range(n+1)] else: return solve(n) # 利用公式求n-烷的同分异构数 # n烷 = n标碳烷 - n标键烷 + n/2烷基 def wan(n,U,V,M): if n % 2 == 0: return U[n] - V[n] + M[n//2] return U[n] - V[n] # 测试 M=wanji(100) U=biaotanwan(100,M) V=biaojianwan(100,M) for n in range(101): print(n, '-烷基的同分异构体有', M[n], '种') for n in range(101): print(n, '-标碳烷的同分异构体有', U[n], '种') for n in range(101): print(n, '-标键烷的同分异构体有', V[n], '种') for n in range(1,101): print(n, '-烷的同分异构体有', wan(n,U,V,M), '种')
输出结果:
0 -烷基的同分异构体有 1 种
1 -烷基的同分异构体有 1 种
2 -烷基的同分异构体有 1 种
3 -烷基的同分异构体有 2 种
4 -烷基的同分异构体有 4 种
5 -烷基的同分异构体有 8 种
6 -烷基的同分异构体有 17 种
7 -烷基的同分异构体有 39 种
8 -烷基的同分异构体有 89 种
9 -烷基的同分异构体有 211 种
10 -烷基的同分异构体有 507 种
11 -烷基的同分异构体有 1238 种
12 -烷基的同分异构体有 3057 种
13 -烷基的同分异构体有 7639 种
14 -烷基的同分异构体有 19241 种
15 -烷基的同分异构体有 48865 种
16 -烷基的同分异构体有 124906 种
17 -烷基的同分异构体有 321198 种
18 -烷基的同分异构体有 830219 种
19 -烷基的同分异构体有 2156010 种
20 -烷基的同分异构体有 5622109 种
21 -烷基的同分异构体有 14715813 种
22 -烷基的同分异构体有 38649152 种
23 -烷基的同分异构体有 101821927 种
24 -烷基的同分异构体有 269010485 种
25 -烷基的同分异构体有 712566567 种
26 -烷基的同分异构体有 1891993344 种
27 -烷基的同分异构体有 5034704828 种
28 -烷基的同分异构体有 13425117806 种
29 -烷基的同分异构体有 35866550869 种
30 -烷基的同分异构体有 95991365288 种
31 -烷基的同分异构体有 257332864506 种
32 -烷基的同分异构体有 690928354105 种
33 -烷基的同分异构体有 1857821351559 种
34 -烷基的同分异构体有 5002305607153 种
35 -烷基的同分异构体有 13486440075669 种
36 -烷基的同分异构体有 36404382430278 种
37 -烷基的同分异构体有 98380779170283 种
38 -烷基的同分异构体有 266158552000477 种
39 -烷基的同分异构体有 720807976831447 种
40 -烷基的同分异构体有 1954002050661819 种
41 -烷基的同分异构体有 5301950692017063 种
42 -烷基的同分异构体有 14398991611139217 种
43 -烷基的同分异构体有 39137768751465752 种
44 -烷基的同分异构体有 106465954658531465 种
45 -烷基的同分异构体有 289841389106439413 种
46 -烷基的同分异构体有 789642117549095761 种
47 -烷基的同分异构体有 2152814945971655556 种
48 -烷基的同分异构体有 5873225808361331954 种
49 -烷基的同分异构体有 16033495247557039074 种
50 -烷基的同分异构体有 43797554941937577760 种
51 -烷基的同分异构体有 119710153806425838814 种
52 -烷基的同分异构体有 327387061440387339008 种
53 -烷基的同分异构体有 895843085951178143691 种
54 -烷基的同分异构体有 2452637333887058055384 种
55 -烷基的同分异构体有 6718266278929859733622 种
56 -烷基的同分异构体有 18411771398697833823000 种
57 -烷基的同分异构体有 50482497809955343038577 种
58 -烷基的同分异构体有 138479602828722198112039 种
59 -烷基的同分异构体有 380035071896650874765695 种
60 -烷基的同分异构体有 1043393111652308730560544 种
61 -烷基的同分异构体有 2865843809192062819497928 种
62 -烷基的同分异构体有 7874653977974760120343666 种
63 -烷基的同分异构体有 21646080934050220557892722 种
64 -烷基的同分异构体有 59523793603181888124081873 种
65 -烷基的同分异构体有 163742112144282534714835522 种
66 -烷基的同分异构体有 450592339345898249869218319 种
67 -烷基的同分异构体有 1240384226853570945094452814 种
68 -烷基的同分异构体有 3415649288845609819552552130 种
69 -烷基的同分异构体有 9408723335387757252898214212 种
70 -烷基的同分异构体有 25925341104562842786074383801 种
71 -烷基的同分异构体有 71457982691643838449175520936 种
72 -烷基的同分异构体有 197017958333300282255614336794 种
73 -烷基的同分异构体有 543358066498116791491048793218 种
74 -烷基的同分异构体有 1498953849616752546689802091439 种
75 -烷基的同分异构体有 4136270918924306555319895187994 种
76 -烷基的同分异构体有 11416819269749659903244393933095 种
77 -烷基的同分异构体有 31520543436975671843005866727635 种
78 -烷基的同分异构体有 87046595485364266327991021865784 种
79 -烷基的同分异构体有 240445481264024116481889057815169 种
80 -烷基的同分异构体有 664332507296471677736372953010226 种
81 -烷基的同分异构体有 1835928910350418500278990976469861 种
82 -烷基的同分异构体有 5074873286445647518042353897671634 种
83 -烷基的同分异构体有 14031081066302277328140290178287812 种
84 -烷基的同分异构体有 38801752647739183194830502890941088 种
85 -烷基的同分异构体有 107325668225681414089071298904099717 种
86 -烷基的同分异构体有 296924311570321654884671456351866990 种
87 -烷基的同分异构体有 821628959039106655246064771197152568 种
88 -烷基的同分异构体有 2274005628877041705221344665004233781 种
89 -烷基的同分异构体有 6294934468640373568081967026378999337 种
90 -烷基的同分异构体有 17429017252313753220203391776963723417 种
91 -烷基的同分异构体有 48265274930187086026934877354369433592 种
92 -烷基的同分异构体有 133682671606330111681925831160058336852 种
93 -烷基的同分异构体有 370332819047582236460638550485414321953 种
94 -烷基的同分异构体有 1026087505221182547255970631028299069618 种
95 -烷基的同分异构体有 2843479637566109306175945756955049227258 种
96 -烷基的同分异构体有 7881118057903303046879598021785329267924 种
97 -烷基的同分异构体有 21847212898278527375129113460976162456395 种
98 -烷基的同分异构体有 60572193491813719514851889145800693998935 种
99 -烷基的同分异构体有 167964775240641674296692581041350933570844 种
100 -烷基的同分异构体有 465832107463665143875912088515974576774802 种
0 -标碳烷的同分异构体有 0 种
1 -标碳烷的同分异构体有 1 种
2 -标碳烷的同分异构体有 1 种
3 -标碳烷的同分异构体有 2 种
4 -标碳烷的同分异构体有 4 种
5 -标碳烷的同分异构体有 9 种
6 -标碳烷的同分异构体有 18 种
7 -标碳烷的同分异构体有 42 种
8 -标碳烷的同分异构体有 96 种
9 -标碳烷的同分异构体有 229 种
10 -标碳烷的同分异构体有 549 种
11 -标碳烷的同分异构体有 1347 种
12 -标碳烷的同分异构体有 3326 种
13 -标碳烷的同分异构体有 8330 种
14 -标碳烷的同分异构体有 21000 种
15 -标碳烷的同分异构体有 53407 种
16 -标碳烷的同分异构体有 136639 种
17 -标碳烷的同分异构体有 351757 种
18 -标碳烷的同分异构体有 909962 种
19 -标碳烷的同分异构体有 2365146 种
20 -标碳烷的同分异构体有 6172068 种
21 -标碳烷的同分异构体有 16166991 种
22 -标碳烷的同分异构体有 42488077 种
23 -标碳烷的同分异构体有 112004630 种
24 -标碳烷的同分异构体有 296080425 种
25 -标碳烷的同分异构体有 784688263 种
26 -标碳烷的同分异构体有 2084521232 种
27 -标碳烷的同分异构体有 5549613097 种
28 -标碳烷的同分异构体有 14804572332 种
29 -标碳烷的同分异构体有 39568107511 种
30 -标碳烷的同分异构体有 105938822149 种
31 -标碳烷的同分异构体有 284103144805 种
32 -标碳烷的同分异构体有 763067158047 种
33 -标碳烷的同分异构体有 2052459438451 种
34 -标碳烷的同分异构体有 5528079077194 种
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99 -烷的同分异构体有 2156596319845084996862701478402986311496 种
100 -烷的同分异构体有 5921072038125809849884993369103538010139 种