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在没有能量损失的理想台球桌上任意击球,球是否最终必然进洞? 第1页

  

user avatar   loongyoung 网友的相关建议: 
      

如果给球撞击的那边加装一面镜子,桌面看起来就变成这样:

可以看成球穿过镜子走了直线,真球进洞,镜子里的球也进洞。


给四边都加上镜子,桌面看起来就是无限的平面上排满洞,球的其中一个像始终走直线:

不让球进任何洞就可以了。那一共有多少方向呢?
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1。如果把洞和球都看成「点」,那有多少洞就有多少进洞线路呗:

所以进洞的路线与整数的数目相同。

如果把洞的距离看成单位1,把球放在任一洞上,并把这洞当成坐标原点画个坐标,那所有进洞路线的斜率正好是全体分数(有理数):

所以进洞的路线与有理数的数目相同,不进洞的路线与无理数的数目相同。
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下面不太好理解:

2。如果洞口有半径,而球还是点:

换个角度,把洞口排成高楼,球与每层虚线相撞时,都在地上留个影子。只要影子没在洞口里球就没进洞:


这就像是一个小人儿稳步走在有坑的路上,问:步子迈多大才能永远不掉坑里?


再简化:如果把路卷成一个圆,让所有洞口的位置重合(圆周长为1),变成一个洞口,圆周上踩出的脚印会有多密?

想一想会发现:只要步长是有理数,当小人走过足够多步之后,脚印就会重合,之后就不再变密。因为有理数可以写成分数(和都是整数)的形式,所以只要走步,就正好走了圈,踩到自己第一个脚印。所以圆周上的脚印最多也不会超过个。

对应台球的问题就是:如果以有理数斜率击球,球在有限次撞边后轨迹一定会重合,第一次重合前如果没进洞,以后就没有机会进洞了。

那如果步长是无理数呢?那无论小人走多少步,也踩不到第一个脚印,同理踩不到任何一个脚印,脚印越来越密,就相当于用越来越小的步子来走:

步子小到比坑还小时,坑就迈不过去了。所以斜率是无理数时,球就会进洞。但要注意,这里的「有理数」「无理数」其实是球桌长宽比值的「有理数倍」、「无理数倍」。

知友提供的 凹多边形照明问题视频: youtu.be/xhj5er1k6GQ

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