从高处往下倒水，为什么刚开始水是连成一条线，往下就成了散开的水珠？ 第1页

先说结论，这是因为所谓的“Plateau–Rayleigh”不稳定性。

然后，我再试图用大家都能听懂的白话解释一下。这个过程中有一个关键的物理现象，叫做表面张力。

表面张力，我们简单形象地理解，可以认为流体的两相（如气液）界面就像是一张紧绷的皮膜，这张膜在外力的约束下，总是希望尽可能地收缩。沿着它的表面就有一种张力，就是表面张力。

如果你想用最形象的方式理解表面张力，你可以想象一个吹起来的气球的表面：气球的弹力使它尽量收缩从而整体形成球形。相对应地，水滴的表面张力使它尽量收缩从而形成球形。

而这里有一件非常关键的事请，就是由于表面张力的存在，弯曲的表面就会在两侧形成压力差。就好像紧绷的气球，其内部压力要高于外部的压力。这种压力差来自哪里？当然就是气球皮膜紧绷的张力。由于气球的弯曲表面，使得其张力最终表现为内部压力的升高。

具体讲，我们对一个这样无重力液滴做出分析，它的上半球受力受到三个力的作用：

1. 内部液体在截面上对它的净压力；
2. 外部在上半球面上对它的净压力
3. 液滴表面受到的沿表面垂直于“断面”的表面张力。

我们很容易就会看到，由于表面张力的存在，此时内部的压力肯定要大于外部压力。那么，这种压力差的大小是由什么决定的呢？

很显然，一个决定因素就是张力的大小：皮膜绷的越紧，所能产生的压力差就越大。但是还有另一个很重要的因素，就是表面弯曲的程度，也就是它的曲率。我们还是用气球做一个说明，例如下面这个气球：

气球内部的气体压力处处相等，但是，接触过这种气球的人都有一个经验，就是粗的地方绷得紧，而细的地方绷得就不那么紧。如上图所示，绷得紧的地方和绷得松的地方，产生的压力差是相等的，但是他们的曲率是不相等的：曲率越大，同样的张力所能产生的压力差就更大。

我们有一个公式可以表示这个关系，叫做杨-拉普拉斯方程（Young-Laplace equation）：

其中，γ是表面张力，R1和R2分别是两个方向上的曲率半径。

那么，我们来看看细流的水柱为何会分散成水滴：这是因为连续的水柱状态是不稳定的，而水滴的状态才是稳定的。比如说，下图是一个细流柱：

我们知道，我们的环境中总是存在着各种干扰，不论我们如何隔离，都不可能消除它：因为水柱自身就存在各种涨落。因此，这个水柱不可能是严格的圆柱形，它上面总是有各种“皱纹”的。事实上，现实中的扰动非常之复杂，我们不可能做出具体的分析，但是，我们总是可以把这些扰动看做是一系列正弦波的叠加（傅里叶分解），那么，我们通过对这些正弦波的分析，可以分析出这些干扰的基本特征。如下图，一个被正弦波干扰的水柱呈这个形状：

我们可以看到，在不同的地方，柱面的曲率都发生了变化，这种变化和表面张力一起，就导致了水柱当中不同地方内部压力的变化。那么，我们如何判断这种影响呢？我们说，如果A点（柱半径缩小的地方）的压力上升，B点压力下降，那么：

1. 在压力差下，流体从A点流向B点，
2. 流动导致A点进一步缩小，B点进一步增大
3. 进而，A点压力更加增加，B点的压力更加减小
4. 流动更加快速
5. ……

如此循环，A点处迅速缩成0，从而崩解，也就是说，这是一种正反馈，表面张力的作用会扩大扰动，水柱不复存在。

但是，如果发生的情况相反，也就是说，扰动导致B点压力上升，A点压力下降，那么，水就会从B点流向A点，这是一种负反馈，表面张力的作用会抑制扰动，水柱就能维持稳定。

那么，这种扰动到底会是一种正反馈，还是负反馈呢？我们来具体分析两点的压力变化：

在A点，z方向上产生了负曲率（半径RA），而r方向上，由于半径变小，曲率变大。也就是说，A点上的曲率变化产生了两个效果：

1. 柱面的正弦波导致负曲率，使得A点的压力下降；
2. 截面的半径变小，导致A点压力上升。

同理，我们也可以看到，在B点，两个效应是相反的：

1. 柱面正弦波导致正曲率，使得B点压力上升；
2. 截面半径增大，导致B点压力下降。

也就是说，扰动导致的z方向上的正弦波曲率将会升高B点压力，降低A点压力，导致负反馈，水柱稳定；而扰动导致水柱粗细的变化，将会升高A点压力，降低B点压力，导致正反馈，水柱崩解。

从直观上我们立刻就知道，如果水柱很细，那么截面上的曲率很大，它的影响会显著大于正弦波的影响，那么就会是正反馈，水柱崩解；反之，如果水柱很粗，那么截面上曲率很小，起到关键作用的将会是正弦波造成的曲率，那么就会是负反馈，水柱稳定。

这就是为何细水柱不稳定的原因。

那么，水柱到底多细，才会不稳定呢？下面我们来简单计算一下：

假定扰动所导致正弦波的形式如下：

这里， 是未受到扰动的水柱半径，A表征扰动的大小，而k是波数，表示扰动范围的大小。很容易，我们可以计算出两个方向的曲率半径，进而根据Young-Laplace方程计算出流体内部各处的压力（我们假定外压为零）：

在A点， ，在B点， ，那么，我们可以得到：

这就是扰动导致AB两点的压力差。根据上面的讨论，当它小于0的时候，水柱就是稳定的，也就是说:

请注意，理论上，当水柱稳定的时候，它是可以抗拒任意小的扰动的，也就是说，在我们取 的极限时，水柱仍然稳定。所以说，我们就得到了水柱稳定的条件如下：

从这个条件看，水柱的半径越细，就越难满足稳定条件，进而它就更容易崩解。

而在水向下自由流动的过程中，由于重力作用，它是在加速的，也就是说，越往下它流动速度越快，自然就会导致其越往下水柱越细：

所以，这就回答了题主的问题：

从高处往下倒水，为什么刚开始水是连成一条线，往下就成了散开的水珠？