2016 年诺贝尔物理学奖「拓扑量子相变」具体是在研究什么？目前在国内外的应用进展如何？ 第1页

作为一个时差党，一觉醒来完全被大家的热情吓懵了，真的是受宠若惊。。。为了让这个回答自洽一些，我再补充几句好啦。。。

首先，评论区里大家纷纷表示在文中看到了“#￥%@￥*……%@”的感觉。我承认，这个回答写的确实不太“科普”。因为虽然BKT相变在凝聚态物理的圈子里已经是一个比较基础的理论，但是要想真正理解它需要非常多的背景知识。一般来说，BKT相变的介绍会出现在像《临界现象与重整化群》这样的高级研究生课的最后阶段，而在此之前我们需要完整的统计物理和固体物理的知识，当然还要懂一些场论和传统的朗道相变理论。。。其他的带有“拓扑”二字的凝聚态体系同样的对新手不友好，平时听报告的时候，大家都习惯在第一页ppt放一个面包圈或者咖啡杯，然后告诉听众看到没有，这就是拓扑，在一个拓扑学家的眼里面包圈和咖啡杯是一样的。然后第二页ppt就直接列出了Chern number的表达式。。。我当时在刚入行时也都是漫山遍野的“#￥%@￥*……%@”，内心受到一万点暴击。。。这种感觉就像，当你下定决心想往这个坑里跳时，你发现这竟然是一个陨石撞击形成的环形山！要历经千辛万苦爬到山顶才能看到坑在哪里。。。而相变理论本身也一直是当今凝聚态物理研究的核心之一，我自己也只是略知皮毛，对于对称性自发破缺这些核心概念，也许以后有机会可以详细的写一写。。。

另外，好蛋爷爷拿奖的工作应该主要集中在一维量子反铁磁自旋链的理论上，这里面有非常多的有意思的结论，比如著名的好蛋猜想。而这里面引入的非线性sigma模型加拓扑theta项的模式也被广泛的运用在了最近很火的高维对称性保护的拓扑态的分类上。对于好蛋的这部分工作，Fradkin的那本《Field theories of Condensed Matter Physics》里面有很详细的讲解，不过本人水平太渣，不觉得自己能讲的清楚，所以在此抛一块砖。。。

下面回答两个技术上的小问题：

评论区内有一个很好的问题：实验物理学家们看到的是二维的超流相变，为什么BKT等人研究了一个二维的XY自旋模型就把超流的问题解决了？这个问题牵扯到了相变理论中的一个核心概念：普适性（Universality）。从数学上来说，在相变发生时，体系的关联长度趋向无穷，因此这种长波极限对应着一个低能有效理论的描述（从海森堡不确定性原理而言，动量也就是能量等价于长度的倒数）。当我们真的把这两个体系的高能自由度全部积掉之后，我们发现超流模型和XY模型的低能有效理论其实是一个模型，所以它们的相变也自然是有同一个相变理论描述的。

另一个问题是：为什么涡旋可以用来描述这一相变理论呢？对于这个问题的回答，我放到了下面正文里面，看起来更通顺一些。

最后，大家还关心这些东东有什么用。。。首先是概念上的革新，之前人们对于凝聚态物质的理解分类都是基于对称性的。而今，拓扑已然成为了除了对称性之外的一个全新的维度。。。。你要知道，现在火的不行的三维拓扑绝缘体Bi2Se3还有二维拓扑绝缘体HgTe量子阱已经被人们研究了好几十年了，甚至连它们的一些拓扑绝缘体的标志（比如能带反转）大家也都知道好久了。问题是，之前从来没有人想过它们的拓扑性质。。。这种感觉就像是一个生活在一维世界里的生物突然跑到了二维世界一样， 然后发现之前一直过不去的坎儿，现在只要绕过去就好了。。。对于科研界而言，拓扑的引入绝对是颠覆世界观的。

对于吃瓜群众而言，科学的进步总会带动技术的发展，从而影响到我们的生活。最初发现相对论和量子力学的时候，我想很多人的疑问也是这些东东除了好玩之外有什么用。然而事实证明，基于相对论和量子力学的技术已经完全改变了我们的生活方式，比如GPS，比如巨磁电阻等等。如今，我们也已经看到了“拓扑”二字对于技术在概念上的革新，比如低能耗的电子元件，比如拓扑量子计算。虽然这是一条很长的路，但那一天总会来的。写到这里，突然想起了屈原的那句话：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！

以下是原回答

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趁着众大神没来之前强答一发。。。

这次炸药奖给我的感觉就是意料之外，情理之中。当今凝聚态物理中拓扑相的研究一直是最热的热点之一，所以颁奖只是个时间早晚的问题，要不然总觉着欠着这个领域点啥。。。当然了，颁奖的话当然要颁给最早提出这些概念的大神们了，于是自然就轮到了Thouless，Kosterlitz和Haldane了（以下简称T，K，H）。值得一提的是，他们的拿奖的工作都是在上个世纪七十年代和八十年代做的，远在现在火上天的拓扑绝缘体（半金属，超导体）之前，经历了三四十年时间的洗礼啊！

言归正传，下面我就简单介绍一下为什么BKT相变是一个拓扑量子相变以及和传统相变的区别，以便抛砖引玉，如有不确切的地方，还望大神们指正。如果要深入理解BKT相变的机制，必须要老老实实的推导一下这一相变的重整化群方程了，这里面还是有很多有意（恶）思（心）的数学技巧需要折腾的。。。

先说说T和K吧。一提到这两个人，首先想到的就是著名的BKT相变，这是第一个真正意义上的拓扑相变。这里需要指出的是这里的B指的是在同一时间独立发现这一相变机制的前苏联（乌克兰）物理学家Berezinskii，可惜他英年早逝，于1980年离开了这个世界，当时只有44岁。

话说在BKT发现这一相变机制之前，有一个公认的定理叫做Mermin-Wagner（MW）定理，这个定理说的是二维和一维的有限温体系（或者一维的零温量子体系）是不能发生连续对称性自发破缺的。原因是连续对称性自发破缺都会伴随Goldstone玻色子的产生，而在空间维数d<=2时，很容易证明Goldstone玻色子的涨落是发散的，因此这个发散的涨落会强行恢复之前破坏的连续对称性，然后就没有对称性破缺了。当然了，分立的对称性破缺是没有问题的，因为没有Goldstone玻色子，所以二维的顺磁铁磁相变都可以发生。这个时候，实验物理学家们开始说话了：这个MW定理是在逗我吗？！那我们在二维超流里看到的相变是神马东东？！你们理论家来给个解释吧！

于是BKT等人的工作就是从理论上证实并解释了超越MW机制的相变的存在。他们考虑的是一个二维的XY自旋模型，在这个模型里，每个晶格格点上都有一个自旋，而自旋可以在二维平面内任意转动，所以体系是有连续的旋转对称性的。那么根据MW的理论，这个体系是不可能有传统意义上的相变的。然而BKT等人发现，和实验家们说的一样，这个二维体系确实发生相变了。所以MW错了吗？

MW是对的，BKT也是对的：MW只是禁止了传统的二级相变，那么我们不发生二级相变就好啦，发生点别的相变总是没关系的。BKT发现传统的相变研究在这个体系中其实缺失了一种至关重要的拓扑结构——涡旋（vortex）。下面我先给出关于BKT相变的描述：在BKT相变温度之下，体系中只有涡旋和反涡旋结合在一起的束缚态。而在相变温度之上，体系中可以存在自由的没有束缚的涡旋。因此，BKT相变就是一个关于涡旋的相变！

涡旋是啥呢？如图所示（原谅我可耻的从网上盗了一张图）

这里每一个箭头都代表一个晶格上的自旋方向，在坐标（-5，-2）附近有一个涡旋，在坐标（5，2）附近有一个反涡旋，大家可以感受一下。。。

为什么涡旋可以用来描述这一相变理论呢？

首先，所有的相变都是由体系本身的自由能F所控制的，F越低，体系越稳定。这就如同我们站在椅子上会有摔下来的可能，而站在地上则要稳定的多，所以相比之下地面是一个更加稳定的态。自由能不仅仅和体系的能量E有关，还取决于体系的混乱度——熵S和温度T的乘积。这里，一个简单的表达式就是F=E-TS。所以有限温体系的相变就是体系能量和体系混乱度的竞争。对于XY模型而言，如果我们强行引入一个涡旋进来，我们发现能量增加了，但同时熵也增加了，而且能量和熵的增加都是随着涡旋的半径对数发散，所以这两个量是在同一个量级上，因此可以存在竞争关系（相变）。

当温度足够低时，熵增带来的自由能的减少不足以克服能量的增加，因此涡旋的引入实际上增加了体系的自由能，也就不被体系所青睐了。在这种情况下，体系是没有自由的涡旋的。而当温度足够高时，熵增带来的自由能的减少比能量的增加要多，这样涡旋的引入反而降低了体系的自由能，所以这样体系会倾向于产生更多的自由涡旋。这两种不同的相之间，总会有一个临界温度T=E/S（这时自由能的增加恰好为零），这就是BKT相变的相变温度。总的来说，涡旋这一结构给予了降低体系自由能的可能，而这种可能被大自然变成了现实。

涡旋为什么有趣？

首先，涡旋是一个拓扑结构，或者更确切的说是一个拓扑缺陷，在涡旋的中心是有一个奇点（当然不是黑洞的奇点啦）的。我们可以随便选一个包含涡旋中心的闭合回路，然后数一下自旋的夹角的改变，然后我们会发现，对于涡旋而言这一圈下来，自旋夹角（我们以2pi作为一个单位的话）改变为1，而反涡旋则为-1。而这一夹角的改变是不依赖我们路径的选取的，因此它可以作为涡旋的一个拓扑表征。

其次，涡旋没有长程序，而只有局部的准长程序，因此涡旋的产生和湮灭不改变任何对称性。换句话说，如果之前这个体系的自旋取向是混乱无序的，那么我们引入一个涡旋之后，体系的对称性既没有升高也没有降低。这一点是很关键的！我们知道，传统的二级相变都是从一种长程序相变到另外一种长程序，而这两种长程序含有不同的对称性。比如Ising模型的顺磁铁磁相变中，顺磁体有着Z2对称性，也就是自旋取向可以取自旋向上或者自旋向下，所以每一个自旋都有两个选择。然而铁磁体的自旋都是指向同一个方向，所以每一个自旋都必须保持和其他的自旋选取同一个方向，从而失去了选择的自由，所以Z2对称性被破坏了。因此顺磁体拥有着更高的对称性，而相变发生的过程也就是对称性改变（破缺）的过程。而在BKT相变机制中，相变前后的区别就是体系中有没有自由的涡旋，因此体系没有发生任何的对称性破缺，也就没有违背MW定理。

把上面两点总结一下就是，这是第一个不需要发生对称性破缺也能玩得转的，必须要引入拓扑结构（涡旋）才能解释的清楚的相变。换句话说，这是第一个拓扑量子相变！

搞完这些东西之后，Thouless也没有闲着，他很快就投奔到了量子霍尔效应的汪洋大海中，并很快又一次震惊了世界。1982年4月30号，PRL编辑部收到了署名为TKNN（四个人的姓的第一个字母）的一份投稿，在这篇惊世骇俗的文章中，TKNN成功的将线性响应理论的Kubo公式用到了二维电子气体系，并得到了霍尔电导正比于一个正整数乘以e^2/h的结论。这个正整数就是现在众所周知的Chern number，这是第一个在凝聚态体系中发现的拓扑不变量，而这个公式被命名为TKNN公式。值得一提的是，在量子霍尔效应中，Chern number的改变也没有伴随任何的对称性破缺。因此如果我们从一个量子霍尔态相变到另一个量子霍尔态，唯一改变的只有拓扑不变量的值而不是对称性，所以这是一个更显然的拓扑量子相变的例子。

最后啦，讲一讲第三个诺奖得主Haldane（好蛋）爷爷吧。好蛋爷爷在华人物理学圈内的外号是“阿笠博士”，我就不放图了，大家可以自行对比。他也是当今凝聚态理论界的几个最高的山峰之一。好蛋爷爷给我的感觉一直都是，他随随便便做一个工作都可以掀起圈内的惊涛骇浪而且超级有前瞻性。随便举几个例子好啦，1980年命名了Luttinger液体，推广并一般化了前人的工作，现在大家对于Luttinger液体和波色化的现代理解都应该是从他的工作开始的。1983年，提出了一维量子反铁磁自旋链的non-linear sigma model的理论，这个模型（现在叫做“好蛋自旋链”）是现在公认的第一个对称性保护的拓扑态（比拓扑绝缘体早了22年），而且还是强关联的波色体系。1988年提出了第一个不需要外加磁场的量子反常霍尔效应的模型，这本来是个玩具模型，启发了后来的在掺磁拓扑绝缘体薄膜的工作，而且最近在冷原子体系中真的实现了。最近一个尤其著名的工作就是第一次引入了纠缠谱的概念来表征拓扑序，现在有好多做数值的同志在靠纠缠谱吃饭。。。当然了，好蛋爷爷在分数量子霍尔效应上做出了非常卓越的贡献，这也是他最近一直专攻的方向，但由于不是我的熟悉领域，我就不做评论了。记得曾经聊天说起给拓扑序颁奖的事情，想了想，好像给什么体系颁奖都少不了他，因为好蛋爷爷一直走在时代的前沿，一直在奠基。这次得奖，绝对是实至名归！

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  FebStallion 网友的相关建议: 
      

我认为狭义的QSH state和Z2 topological insulator不是一回事。写在自旋表象【1】下，有一类时间反演对称的哈密顿量可以写作 ，上下Block之间几乎没有耦合。在零耦合极限 下，上下Block分别粒子数守恒，体系具有 对称性，此时可以推导出自旋分量可以有弹道输运也就是会有量子化的 ，类似整数霍尔效应弹道输运的霍尔电导，但是不同分量的自旋分别拥有不同的量子化电导，同时还预言了相关的spin filtering效应。这样的体系虽然bulk满足自旋守恒，但是边界上spin却和current的方向牢牢锁定。从拓扑不变量的角度可以简单的看作体系的陈数 ，但可以定义 。

然而这样的定义依赖额外的“不稳定”对称性【2】——自旋守恒，很显然，在晶体中不打破时间反演但是自旋不守恒的过程有很多，在考虑体系拓扑性质的时候随意的加入额外的对称性会导致预言出很多实验很难观察的现象。如果考虑 ，Kane-Mele, cond-mat/0506581 构造了一个模型，证明了在存在自旋翻转的Rashba SOC的情况下体系依然存在Helical edge state，由于体系打破了自旋守恒，此时这样的edge state无法再定义”自旋霍尔电导“和自旋陈数，代以Z2 拓扑数。由此可知，狭义的自旋霍尔效应只是在Z2拓扑数上进一步添加了自旋守恒的结果，还导致了看起来像新的”自旋拓扑数“。加入Inversion symmetry也可以有类似的”新拓扑数“和Z2对应，Wilson-loop characterization of inversion-symmetric topological insulators。

这样的Z2 topological insulator似乎也开始被”广义的“称作Quantum spin hall insulator或者2D topological insulator，非常迷惑。要注意，和QSH state预言的整数化自旋量子霍尔电导、自旋filtering不同，这样的Z2 topological insulator是由边界上ballistic、disorder-immune的helical edge state在实验上表征的，我给这样的quasi-ballistic transport打上了"quantum spin hall"的引号。事实上，简单的分析transimission matrix就可以轻易的得到，其实这样的Z2 topological insualtor、这样的disorder-immune的边缘态只需要TR，受到时间反演对称性保护，这句话应该如何理解？和U(1)对称性(荷守恒)即可https://topocondmat.org/w5_qshe/fermion_parity_pump.html 。

如上图，这样的quasi-ballistic transport也时常被认为是"QSH"信号，但是狭义的QSH其实需要更多的和spin polarized实验有关的信号。

【1】2D中一般必须是 ，在有衬底影响下我认为可以适当放宽到 表象，其中 可以适当偏离out-of-plane方向。

【2】十重分类的语境下，我把 这类依赖其他稳定的序(超导、磁性)的叫做“稳定”的对称性；晶体对称性等等叫做“不稳定”。

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