考完第十三届全国大学生数学竞赛后你有什么想说的吗？ 第1页

我看没啥人说数学类，就说一下吧。题目可以看这边。我写几道我有兴趣的问题。

如何看待2021年全国大学生数学竞赛（数学A类）试题？ - 知乎 (zhihu.com)

第二题：令 。条件可以化为

，

注意

我们得到

而且 。因为 是紧集，所以 在 取到最大值。设最大值点为 。

如果 ，则 。这样

，

得到 。

如果 ，则 ，显然成立。

第四题：令 ， 为实矩阵。 对称意味着 也对称。因为 是酉矩阵，所以

。

所以 。

[引理]若 为可以对角化的矩阵，且 ，则 可以同时对角化。

用得很多的引理，这里不证明了。因为实对称矩阵可以对角化，所以存在可逆的实矩阵 使得对角化

，

且 。令 ，则 。实际上，

。

令 ，则

。

令 ，则 。所以 。

第六题：(1)如果对任意 都有 。

。

取 ，令 。则

，

得到 ，矛盾。

(2)反设 对某个 成立。根据(1)，存在 使得 。根据微分中值定理，存在 使得

，

得到 。

我们证明，不存在这样的 ，使得在区间 内恒成立 。假设存在，设 表示所有这样的 的下确界。之前的结果说明 ；并且 。如果 ，根据 的连续性，存在 使得在 内都有 ，这与 的定义矛盾。所以 。现在用中值定理：存在 使得

，

得到 。这依然与 的定义矛盾。所以以上定义的数并不存在。

现在可以设 如下定义： ，且 。则 。根据连续性， ，矛盾。

(3)反设存在 使得对任何 有 。不妨设 。我们有

。

令 ，则 。所以

。

当 充分小时，右边小于零，得到 ，矛盾。

(4)与(2)同样做法。