体系的状态——希尔伯特空间
波函数——空间中的点
厄米算符——空间中的一个线性变换
本征函数——对应厄米算符的一组完备单位正交基,构成空间的一个坐标系
本征函数——完备单位正交基{e}
波函数——空间中以{e}为基的向量v
厄米算符——坐标向量空间中的一个线性变换
厄米算符的标准矩阵表示——以{e}为基的对应该算符线性变换的标准矩阵(算符作用在基上),满足性质厄米矩阵中矩阵元等于其伴随: Aij=(Aji)*。
因为{e}是原态空间中算符本征函数的坐标表示,所以在坐标空间中为算符对应线性变换的特征向量,因此坐标空间中算符对应线性变换的标准矩阵为对角矩阵,对角元为本征值。当然也可以换一组完备单位正交基{ε}(也可以不用单位正交),为厄米算符的另一种矩阵表示。可作基变换,对角化为以{e}为基的标准矩阵表示。不管选择什么样的基,这些矩阵表示都是相似的,并相似于唯一的标准矩阵——以{e}为基的对角矩阵。
对应到原态空间,是以本征函数为基的矩阵表示为对角矩阵,对角元为本征值。非本征函数为基的矩阵表示可对角化为该对角矩阵,也相当于做了基变换。
在坐标向量空间里看,非简并情况下测量(线性变换)后体系的态(向量)投影到了其中一个基ei上。对应到原态空间就是投影到了其中一个本征函数上。该本征函数(基ei)所定义的坐标轴是态空间(坐标向量空间)中的一个子空间。简并的情况下则是投影到简并基所张成的子空间(特征向量空间)里,其投影为简并基的线性组合。