是否存在重力场中使质点等速下滑的曲线或曲面？ 第1页

是个有意思的问题，但是高中范围内求不出定量的结果。我写写求解思路吧。

假定在某直角坐标系下，粗糙曲面的方程为，从而曲面有一定弧度，各点处具有曲率，则：

（滑动摩擦力方程）

（曲面法方向受力分析）

（牛顿第二定律，保证合外力为0）

这是依据题主的要求列出的三个方程

接下来我们求曲面的形状：消去参数

同时有，，

同时也要注意到

代入化简，得到

（感谢

指出指数上的问题，我果然算错了……）

你算吧，解得出来算我输.jpg

有别的答主在自然坐标系下得到了答案，感兴趣的同学可以移步他们的回答。

回到这里直角坐标系下的定性讨论：令曲面是下凸的，这样二阶导可以定号，同时也暗含下凸曲面假定。否则，应当方程中受力分析为-号。但这样的条件下，去掉绝对值又会产生另一个负号，则方程恒为。

1.如果初速度很小，或者曲面弧度很小，使得，我们可以舍弃后一项，

此时得到张工的答案，这是传统意义上的斜平面。

2.如果初速度比较大的话，我们可以看到，物体的质量在这里仍然不会影响曲面的形状。

但给定一个初速度，它就只能在满足特定形状与材质关系的曲面上匀速率滑动。

3.那可否再作一些退让呢？我们假定该粗糙曲面各处坡度不太陡，也即，此时微分方程化为

，这样方程是可以存在一个关于的解析（但并不显式）结果的。由于没办法进一步积分，再搞下去也没啥用了。

同时注意到的假设前提，该解仍然严重受到初速度、斜面材质的约束。