高维空间的电动力学是什么样的？ 第1页

第三版，改一点错字，还有联系上下文容易引起误会的地方。更突出反对称张量场的主角地位。

1，先说结论。问题补充里面数分量的地方是ok的。如果我们把Maxwell方程推广到任意维时空里的，除了4维时空(3维空间)之外，都没办法把磁场B看作是空间矢量场。

通用的办法是认定磁场B是一种反对称的2阶张量场，称为2-form。

问题补充里的内容，数分量的地方，没毛病。

还有个能简单看出来的性质，n维空间里点电荷的电场是反比于半径的n-1次的。

2，补充细节，

(2.1) 适宜从合适的Maxwell方程组开始。

取了合适的单位制把多余的常数去掉，这就是3维（空间）的真空含源的Maxwell场方程。矢量箭头自己补上吧。立足于这个熟悉的，看那些新的，包括4维形式，高维推广。

第二和第三个允许我们引入电势和磁矢势，后面我就不怕麻烦，都打开成分量来看。用 写出

空间坐标不用 的符号，用的 . 这里已经能看出点问题了，磁场那个地方是按123轮换的，自创个记号助记就是（1，23），（2，31），（3，12）。

（2.2）Maxwell方程组的4维形式

时空中的Maxwell方程组有两个，是用法拉第张量F表达的，一个是dF=0，另一个是

d*F=*J。 @yinset 把3+1维时空的情况列出来了。

dF=0这个方程，提示着局部可以定义1-form场A，使得F=dA. 这样一来由于dd=0，dF自动就得到满足了。

运用微分形式，式子比较简洁，但是没有背景的话可能不好懂。改用分量再弄一遍。

考虑p+1维时空里的A，包括了电势 和磁矢势分量 （偷个懒不写全表达式）

电场的定义就是 ，

磁场是

的确是只有三维空间的时候才有

（这里藏了Hodge对偶的操作。三维空间里的2-form用三维空间的*转回1-form，即矢量场，记得合适地调一下上下指标）

p+1维的话，从上面磁场的定义可以看出来，从p个轴挑2个出来的组合数就是磁场的分量数。可见问题补充里的数法没问题。（p维空间里的2-form，用p维空间的体元做一下*，得到的是p-2-form。只有p=3的特别之处）

对于第二个方程，d*F=*J, 细节是这样。如果时空是p+1维的，那么*F就是一个p-1-form，做一下外微分得到的d*F是个p-form。整合了电荷密度和电流密度的J可以弄成1-form，做了*之后得到的*J也是个p-form。Hodge对偶*这个运算是跟时空维度有关的。打开成分量太多了，省略。

谈Maxwell方程第二条的时候，*的操作换成了p+1时空里的*了，跟用分量谈F=dA的时候用的*不一样。算的时候用的体元不一样。详细找教材。

非要特别浓缩地说，就是不同维度里的磁场分量的数目未必就跟空间的维数对得上。3维是个特别得空间维数，也可以说4维是个特别得时空维数。

3，想聊聊高维的Maxwell理论是怎样在弦论里出现的

简略地描绘下弦论的图像。一根1维的弦，这个1维当然是指空间维度，有两种可能的拓扑结构。一种是围成一个圈的，叫闭弦，另一种是一段的，叫开弦。

补上一维时间，弦在时空里扫出一片world-sheet, 1+1维的。

弦在D+1维时空里的运动，可以这样来描述

都是弦world-sheet上的坐标，大X是时空坐标。

关心world-sheet可以看出来的，就是一根弦振动而已，X就是些振幅，在经典力学里玩得多了。心算1维空间的波动方程，得到左行波 和右行波 .(是的，省略了规范固定之类的东西，这里想突出图像)

当然，时间方向上的振幅，很奇怪。但只要这样的模态最后不出现在物理的态上就行。阐明这点是个技术活，我干不来~

左行波和右行波。对于没有端点的闭弦，边界条件是个周期性条件，只要波的半波长整数倍是闭弦长度即可，左右各行其是。对于有两个端点的开弦，端点可以是固定的，也可以是自由甩的，左右行波互相之间有关系，不独立。配合好边界条件，就知道怎么做傅里叶分解了，分出各种独立的简谐波。波嘛，振动的传播。波模就是振动传播的模式。每种波模都是简谐振动，马上量子化一下，出来振幅平方量子化的结果。（振幅平方量子化这种说法是我捏造的，个人觉得很形象，但不要当真。精确地玩就好好搞升降算子）这样一来，就可以谈论弦振动的谱了。分立的谱，不仅是来源于边界条件这种经典上类似于驻波的图像，量子化也把振幅平方给离散化了。

如果我们关心的物理过程，尺度（或者说典型能量的倒数）远超于弦本身的长度，弦就好像颗粒子那样。弦的各种振动模式对应着粒子的不同种类。弦振动谱是个万法归一的东西，把不同种类（自旋）的粒子给打包在一起了。我认为这是弦论美妙的第一个地方。讲技术的地方，很多都是谈怎么把谱弄出来，怎么把非物理的态去掉。像得到费米子的话要加入超对称。像没毛病地加超对称只能是这样那样的方式。不管怎么样，图像还是这个图象。诸多名家做科普的时候常常说，弦这样振动是电子，那样振动的光子，等等，都是想传达这个图像。

闭弦里左右各行其是嘛，那么谱里应该有 这样的激发态，左行波一套产生算子右行波一套产生算子，对称部分对应着度规 的微扰。开弦只有一套 ，对应着 . 闭弦谱里有对应引力子的态，开弦谱里有对应光子的态，就这样子糊弄出来了。

弦论第二个让我觉得奇妙的地方就是，在弦的world sheet上做场论，竟然得到了时空里的运动方程！神奇

3.1，补充两点关于量子场论的，一是粒子与场的关系：每种粒子都对应一种场，粒子是场的激发态。在某种意义上这个图像解释了全同性原理。所以说，弦把不同种类的粒子打包了，等于说弦把不同种类的场打包了。

二是有效场论的爽快判据：如果场的质量很重的话，对于那些典型能量(简称能标)远低于该质量的过程，可以当作那个场不存在。有效场论教会我们如何系统性地删掉一些低能下不太重要的胖子（划掉），重场。这样一来，弦的谱里面质量大的那些态就都可以当作在低能标(大尺度)的过程里不出现。

3.2，5种超弦理论里只有一种是开弦理论，其他4种都是闭弦。同问题下其他些好回答里面给出了一些闭的超弦理论有哪些0质量的态（不要费米的）。里面没有1-form A，倒是有更高阶的form。乍一看没有高维的Maxwell场论

1-form A可以跟0维的点粒子的世界线自然地搞在一块，这样的点粒子带相应的电荷。类似地，更高阶的form是自然地跟一些更高维的东西自然地搞在一块。那些更高维的东西，也带charge。人们搞了好久才明白弦论不仅仅只有弦，也要有这些高维的东西，Dp-膜作为charge的携带者。

膜在微扰弦论里是被藏起来的。因为膜的质量里面，弦的相互作用强度是负幂次的，越弱越重，那再微扰弦论里就看不到了。不过，如果只关心超弦的轻的态，可以得到相应的低能有效理论，是超引力理论。作用量写一下，得到场方程；场方程解一下，发现一些孤子解。好好利用一下超对称，可以追踪下这些孤子解在闭弦相互作用强度弱的时候都成了些什么。大体上是这么一条路线去看的。

膜的振动要量子化的话就太难了。维度太高的量子场论，人们都不知道怎么玩。这个地方就轮到弦论发挥了。开弦也把很多场打包起来了。膜上的场统统都被打包为是端点在膜上的开弦。开弦端点固定在膜上，细致一点就是：在离开膜的方向上，端点被固定住，沿膜的方向，端点可以甩来甩去。既然在闭弦微扰去里膜都被藏起来了，那么这些活在膜上的开弦也被藏起来了。膜和膜上的开弦，在这个意义上有点非微扰的意思。

所以说，虽然有些微扰的闭弦理论里乍一看看不到开弦(包含光子的玩意)，但是不局限在微扰里过活的话，在一些单张的高维D膜里也可以有Maxwell理论的。Yang-Mills场则可以通过多张重叠在一起的D膜得到。

4，一些膜的构型不稳定，会降维。我昨天查的资料来源是日语的http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~shigeki.sugimoto/K-theory.pdf 里面有张表，用汉字写的

5，早期的Klein-Kluza紧化可以把d+1维时空的引力（度规有(d+2)(d+1)/2个分量）约化为看成是d维时空的引力（度规有d(d+1)/2个分量）+Maxwell（A这个矢量场，d个分量）+dilaton（标量场，1个分量）。

注：对“电动力学”这个词的用法有分歧的话，那我就不用这个词。统统改为Maxwell理论，或者U(1)规范场。就当作这里答的是“高维的Maxwell理论是什么样的”