E²=p²+m² 这个方程是如何推导出来的？ 第1页

谢不邀。

先一言以蔽之：

这个公式可以从参考系变换下的

不变量(Invariant)的角度来理解。

1) 公式的来源

为照顾题主(可能的)数学起点，

先给出我们熟悉的三维空间距离不变量，

这是我们都很熟悉的勾股定理：

其中 为任意两点间的距离，

是两点

在 三个方向上的投影距离，

将它写成微元形式，变成：

这个关系在任何直角坐标系下都成立。

因此将 或

称为坐标变换下的不变量。

在四维时空，同样有一个

不随参考系变化的不变量：

它和三维空间不变量之间

仅差了一个带负号的时间平方项。

这是一条和光速不变等价的结论，

只不过光速不变更“物理”，

而这个结论更“数学”，

而和光速不变原理一样，

这个式子也是任何参考系下都成立。

(它可以写成简洁漂亮的

爱因斯坦求和形式：

但我们现在不用去理解这个形式)

将不变量等式左右除以固有时 平方，

我们可以得到四速度不变量：

其中 为物体在三维空间中的速度，

为洛仑兹因子

于是不难算出右边其实等于

于是四速度不变量为：

(爱因斯坦求和形式为： )

两边同时乘以静质量 的平方，得：

这叫四维动量不变量。

整理后得：

不考虑量纲的情况下，默认 ，

得：

(爱因斯坦求和形式为： )

2) 量子领域的应用

然后说一说它在量子领域的应用，

不过这个更抽象，

题主先知道有这么个思路就行了。

它应用到量子领域，

可以将经典时空中的薛定谔方程

变成相对论协变的Klein-Gordon方程。

量子力学中，物理量由算符表示，

能量算符 ，

动量算符

(这里只讨论一维情形)

作用在波函数 上，得：

，

经典时空中能量和动量的关系：

两边同乘波函数 ：

代入能量和动量算符：

亦即：

这就是薛定谔方程。

而在相对论时空中：

于是：

亦即：

这就是Klein-Gordon方程，

它同样也有一个简洁漂亮的

爱因斯坦求和形式：

但这个简洁漂亮的方程其实有个大BUG，

直到狄拉克搞出了一个新方程才解决，

详细的就要进入量子场论了，

这个我也还没学明白，就不献丑了。

3) 结语

写到这里，

等于把狭义相对论和量子力学核心内容中

非常小的一小部分给题主展示了一遍。

题主可能现在还不能完全理解其美妙，

但先知道有这么一条看似不明觉厉的思路，

至少可以防止坠入民科界。

以后慢慢学习，总会明白的。

祝题主最终悟道。

附录：关于不变量 的解说，可以参考这个回答：