流体连续性原理有什么应用? 第1页

流体连续性方程可以指导如何在下雨天“吟啸且徐（？）行”

我们的 @李永乐老师 在很早之前已经通俗易懂地讲过了这个问题了，可以先睹为快：

流体连续方程是流体相关的基本方程之一，是质量守恒定律的一种表现形式，在近乎所有的流体相关问题里都有所体现。

如上式所示，即为便于在宏观下理解的流体连续方程的积分形式。

方程的左侧第一项为体积内部所有流体的质量之和，右侧为单位时间内从控制体表面离开体积的所有流体的质量之和。流体连续性原理的本质就是对于任一体积内流体的质量都不能凭空产生或者消失，只能从体积的表面离开，所以说，流体连续性原理是质量守恒定律的一种表现。

为了加深我们的理解，我们照搬Minecraft人物方块的二维模型来进行说明。

这是我们的研（po）究（hai）对象——小黑，我们在他的周围取一个长方形的体积，称之为控制体。其中，上左右下四个面，分别标记为

这个时候，突然下雨了，单位体积雨滴数为n，每一滴雨滴体积为 ,密度为 ，小黑此时的受雨面积就是头顶的 ，由于对于 ,都有雨滴速度v垂直于面元法向量n、 处没有雨滴，时间 内进入小黑周围控制体的雨质量 符合方程：

小黑被雨淋了，受到伤害，开始了反复横跳，最终使得在小黑看来，雨滴在以速度 向自己飞来，受雨面变成了顶面 和右面 但这个时候两个面都不和雨滴速度垂直，所以要计算雨滴速度还要计算 在两个法向量上的分量，这个时候我们也可以将 取得无限小，还是可以得到和上面类似的关系：

当然，生活在北京的同学心里往往有数：帝都下雨，必刮大风。在刮大风的天气里，恐怕就不能见到如同Minecraft世界里那柔和的垂直下落的雨滴了。小黑附近的雨滴在狂风大作之下怕不是这个样子的：

这个时候雨滴的速度就变成了一个有关空间坐标的函数而不是均一的值了，我们将其设为：

而雨滴的“滴”也可以以函数的概念表达出来：

和 分别代表了有/没有雨滴存在的区域

这个时候小黑淋的雨便是符合流体连续方程所表达的关系了：

这么大雨，小黑什么的已经无所谓了，我们扔掉小黑的控制体和瓢泼大雨的背景，让 从只有0和1的取值，变为连续的函数，这便是适用于一般流体问题的连续方程了。

自己在做王洪伟老师的流体力学的相关学习笔记，可以一起学习，相互监督：

想法主要来自@毕导 的最新（？）视频：