关于传染病的数学模型有哪些？ 第1页

现有的回答主要集中在SIR传染模型极其变体上，本答案试图对它们进行进一步讨论。下面借助网络上已具热度的于晓华教授的模拟，分析一下这个/类模型的局限性。

具体地说，于教授的模型：1）无法刻画超级传播者；2）无法刻画潜伏期；3）无法刻画地理因素。其中，第2个局限性可以用SEIR模型或时滞模型克服；第1个和第3个局限性可以用复杂网络模型克服。希望本答案能抛砖引玉，期待专业人士的解答！最后强调一下，本答案不想传播任何恐惧情绪，只是分析、综合现有的信息（并尽量附带上消息的来源出处），目的仅仅是尽自己一点绵薄之力。

第一步我们可以猜一猜，于教授用的SIR模型的具体形式是什么。看到他的结果上只报告了 与 两个参数（于教授称这两个参数来自SARS的经验，不过没给出来源），参照最经典的SIR模型^[1]，答主做出了下述猜测（以下简称模型1）：

其中 取值0.2586， 取值0.0821，S, I, R自的初值是10e7, 10, 5，N=10e7+10+5，（数据均来自图1），下面是模型1的数值模拟结果：

对比图1和图2，答主应该是成功猜出了于教授的模型设定。

与 @酱紫君 中的SIR急性传染病模型相比，于教授设置了 ；模型1确实——如于教授自己所说——简单.

模型简单当然不是问题；问题是，它是否过分地简单？答主认为，至少有三个重要因素是于教授的模型不能囊括的：

1）超级传播者问题

于教授的模型，不能刻画超级传播者的存在。

本部分内容参考了下面这个问题中的答案，尤其是 @Vigorous Cooler 的答案（不过图3我是从百家号上截取下来的，总之，侵删）

简单地讲，超级传播者具有远强于普通染病者的传染性（如图3中的1，6，35，130，127），03年非典中出现了超级传播者，造成身边36个人染病（具体可参考上面那个问题中 @腾讯医典 的答案）。很显然，超级传播者对于疾病的防控有着重大的威胁。钟南山院士强调了防止超级传播者出现的重要性。

目前，已经出现了武汉一家医院14名医护人员被感染^[2]（向所有医护人员致敬，辛苦了！），且怀疑是由一名患者造成的；不过，22日高福院士在新闻发布会上做了这样的表述^[3]：

我们对这个新型冠状病毒处于一个不断认知的过程中，不断地积累对它的知识。所以，我们还没有证据说已经有了您刚提到的‘超级传播者’……

读者自行理解吧。

话说回于教授的模型1. 模型1假定了任何一个染病者（Infectives）在任何时刻对于易感者（Susceptible）的感染率总是正比于 , 然而这显然是无法刻画超级传播者的特性的！尽管我们可以说， 是考虑了超级传播者的长时段内的感染率平均值（不知道于教授所援引的SARS参数，是不是这样计算出来的），因而模型1是逻辑自洽的。但我们现在尚处在病毒的传播初期，要做的恰恰是充分考虑超级传播者的影响：TA是否会出现？会出现在外省吗？会在外省的二次传染中出现吗？总之，这些问题是模型1无法探讨的，然而，由于下面阐述的潜伏期问题，超级传播者问题是不得不考虑的。

2）潜伏期问题

直接援引李兰娟院士的发言吧^[4]（粗体为答主所加，转引自 @Vigorous Cooler 的答案，再次表示感谢！）

记者：新型冠状病毒的潜伏期有多久？ 人感染之后，除了发烧之外，还会有哪些症状？怎么去判断它是属于新型的冠状病毒？
李兰娟院士：冠状病毒在SARS的时候，潜伏期最长14天以内，这一次根据现在的病人统计，估计在10天以内。
但这次的新型冠状病毒感染，不同的人感染后差异性比较大。有些患者感染后潜伏期比较长的，也有两三天就发病的。最长的到10天，我们把潜伏期预计的稍微长一点，确定为14天。
记者问：潜伏期内具有传染性吗？
李兰娟院士：潜伏期现在看来也可能有传染性，所以这一点要非常重视，因为现在我也了解了一些病人的情况，病人自己没有发烧，早期跟他有接触的人发烧了，跟他接触的人，可能后面也会有感染发烧等情况。

在上面这段话中，最值得注意的信息是，病人在潜伏期内，也可能具有传染性！换句话说，我们可以想象（请注意是想象），处在潜伏期内的旅客，因为没有发热而未被机场、火车站识别出，而在回到自己的住处后传染了其他人（即二次传染）。这种现象无疑也对疾病防控提出了挑战。当然，我们最不希望看到的情况是，这位旅客是一个超级传播者；或TA二次传染后出现超级传播者……

再回到于教授的模型。这个模型仅有易感者（Susceptible）、染病者（Infective）、移出者（Resistance），而没有潜伏者（Exposed），自然不可以刻画潜伏者。详情可以参考在上面的 @酱紫君 的回答。当然，你可以说，SEIR模型不过是比SIR模型多了一个变量，如果模型参数、初值设定地不切合现实的话，同样对预测疫情没什么卵用……答主只能说，我不是传染病模型的研究者，模型是否有效，需要相关领域的研究者来回答。

顺便一提，想要刻画潜伏期效应，也可在传染病模型中加入时间滞后因素，比如：

图4中x(t), y(t), z(t)分别对应着S(t), I(t), R(t)；而 就是时间滞后。利用时间滞后方程讨论传染病传播的论文有很多，给出一个吧，这篇文献讨论了津巴布韦地区HIV/AIDS的传播——我们知道，HIV病毒是有潜伏期的。（不知道为啥插入不了注释，放到正文吧：Mukandavire Z, Garira W, Chiyaka C. Asymptotic properties of an HIV/AIDS model with a time delay[J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications, 2007, 330(2): 916-933.）

3）病毒扩散的地理因素

很多报道都提到了武汉是一个重要的交通枢纽，所谓“九省通衢之地”。然而于教授的模型不能反映这一要素。答主在朋友圈看到一个图片，它的真实性不能保证，但作为一个示意图还是很直观的。

https://www.douban.com/doubanapp/dispatch?uri=/status/2769985649/&dt_app=2 (二维码自动识别)

要想考虑到地理因素，可以把中国的各个城市（约300个）、区县（约3000个）、乡村（约40000个）视为复杂网络的节点（精度当然是依次递增，但估计以城市作为节点就可以），每个节点各自跑各自的SEIR模型（还是参考 @酱紫君 的答案）；各个节点间的疾病扩用交叉项来表示，地理的远近、人口转移的多寡，用交叉项前面的系数调整。甚至，我们还可以引入随机变量来模拟超级传播者现象（这个似乎是 @Mather King 的研究领域？）事实上，于教授的模型等价于于不考虑节点间传播的交叉项，并假定每一个节点的参数、初值都是相同的；换句话说，它是一个刻画全国传染病总量的均质化的方程（然而，适用于全国的这个模型，一共就 两个参数，外加2个初值——是的，R(t)的初值不重要，它和S(t), I(t)的变化不耦合——你说它很有预测能力……emmm）

下面介绍一篇比较好的文献吧，它使用的方法正是复杂网络。

上面这幅图来自一篇09年的博士论文（倪顺江. 基于复杂网络理论的传染病动力学建模与研究[D].清华大学,2009），论文的第六章用了上图所示的模型复盘了SARS传播。

考虑到了地理交通的模型不但可以获得更高的精确度与预测能力，而且很有现实意义：指导公共部门更精准地投放疫情防、控、治的人力财力物力；对于涉病地区私人部门的生产生活，也有一定的指导意义。感兴趣的读者下载下来读一读吧~下面补充一个模型实现的图。

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花了四个多小时写这份答案，希望能帮助一部分网友更好地认识本次肺炎传播吧。如有错谬，还请指出！

参考

1. ^ Hethcote H W. The mathematics of infectious diseases[J]. SIAM Review, 2000, 42(4): 599-653.
2. ^ https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MTQzMTE0MjcyMQ==&mid=2666627281&idx=7&sn=ee21679815b9a069a9b522b6b63357c1&chksm=667756ff5100dfe9d43ca28dc814bc30defd01490c1ff6a319e7a21474411b2104783c4fafb3&scene=0&xtrack=1
3. ^ https://baijiahao.baidu.com/s?id=1656399323613005283&wfr=spider&for=pc
4. ^ https://news.ifeng.com/c/7tRdIjAPFml

如果我告诉你1月2日就开始控制，那么我们只需戴口罩，不用隔离、禁足就能战胜这场浩劫，你会相信吗？

如果我告诉你1月20日钟南山院士不站出来肯定“存在人传人”，那么再晚2天，武汉的确诊人数就要翻倍，你会相信吗？

如果我告诉你没有2月5日王辰院士提出的“方舱医院”实现"应收尽收"，武汉疫情持续到6月份也结束不了，你会相信吗？

如果我告诉你没有2月15日政府组织的“大排查”，最终确诊人数将增加40%，你会相信吗？

二月初，在全国疫情最为焦灼和“吃劲”的时刻，一群来自五湖四海的年轻人集结在了一起，拿起数学的武器自发对抗疫情：收集信息，整理数据，统计分析，模型讨论，编程模拟....2个多月的日夜奋战，终于有所突破。

将梳理出疫情分析系列，这里是第一篇：武汉复盘之关键时刻。谨以此文献给英雄的战疫人员！

一、时间线回顾

我们按照防疫措施介入的时间将以上时间线分为四个阶段：

阶段一（12月1日至1月1日）：无预警期，在这段时间内，病毒开始在人群中小规模传播，因时间仓促无法定性，武汉市民对其毫无预警和防御措施。

阶段二（1月2日至1月22日）：无措施期，在这段时间内，社会上小道消息开始传播，官方逐渐披露部分病例信息，武汉市民对病毒开始有一定的警惕意识，但由于其他原因，医院和群众都未采取任何防疫措施。

阶段三（1月23日至2月15日）：封城初期，钟南山院士宣布“存在人传人”后2天即武汉封城起，市民活动强度骤减、政府大幅度提高病例检测力度，但由于患者数量激增，武汉市医疗资源被挤兑，大量确诊病例无法住院，只能回家自我隔离或不断赴医院排队，造成大量家庭和医院感染。

阶段四（2月15日-3月19日）：全面严控期，政府采取更严格管控措施限制人员活动和密切接触；紧急增加床位并设立方舱医院，力推“大排查”和“应收尽收”，集中收治轻症患者，切断家庭和医院感染途径。

我们按照医疗系统的承受能力将武汉疫情分为两个阶段：

初始爆发期，在该阶段医疗资源充分，病人只要被确诊都会住院得到医治并有效隔离。

医疗系统紧张期，在该阶段医疗系统剩余容量不足，大量被确诊患者没有得到收治或隔离，并继续感染他人。

二、防控措施

武汉政府和市民采取的主要防控措施可分为以下四种：

措施1：通过增加病床数量，尽可能多的收治确诊病人，使其不再成为传染源，该措施可以延缓医疗资源紧张期的到来时间。

措施2：通过“社交疏远"等措施，降低人员密切接触次数和病毒传播机会，该措施可成比例的降低每日新增感染者人数。

措施3：通过戴口罩，勤洗手等措施，降低病毒通过飞沫、气溶胶等途径传播给他人的概率，该措施可成比例的降低每日新增感染者人数。

措施4：通过快速就诊和全面检测等措施，缩短感染者的就诊时间和确诊时间。该措施可缩短感染者将病毒传播给他人的时间长度。

三、数学模型

经典的传染病SEIR模型将人群分为易感者（Suspected）、潜伏者（Exposed）、感染者（Infected）和移除者（Removed，指代死亡或康复），四种人群之间以一定的速率转化，如下图所示：

然而在突发初期感染者相对于总人口比例非常低，移除人群相对于感染人群比例也非常的低。我们发现SEIR模型更适合描述传染病长期传播的情况，而不能及时反应防控措施的效果。

于是，我们设计了能够直接反映防控措施效果的模型。模型参数与变量见表1。

模型解释与递推关系：在易感人群中出现若干初始感染者，数量为 I(0)，这个数可能很小。初始感染者经过潜伏期之后进入发病期(onset), 而发病期间的传染性最强。在发病到确诊并隔离这中间，感染者将在人群中传播病毒。我们设每人平均每日密切接触人数为 r, 而易感者单次与发病期感染者密切接触中招概率为 β. 所以每日新增的感染者 Δ I(t) 正比于前一日的发病且未被隔离人数O(t-1)，比例系数为 rβ, 即

由此，我们发现，发病且未确诊隔离的病例O(t)在病毒传播中起到关键作用。那么传播者是如何退出传播的呢？我们设发病者每日就诊概率为σ，就诊者当日确诊概率为α，则我们有每日确诊者的关系：

另外，就诊率，确诊率与平均就诊期，平均确诊期成倒数关系：

如果医疗系统有足够的隔离病房可以收治所有的确诊者，那么患者在确诊的时候就退出了传播不会再传染其他人。医疗系统在这里为病毒传播提供了退出机制。我们有传播者O(t)的变化关系：

其中第t天的O(t)增量等于一个潜伏期前感染者增量(经过一个潜伏期 Tin 之后进入发病期)，而O(t)的减量为前一日确诊并隔离的人数。

我们发现，医疗系统的容量是控制病毒的关键。当确诊者超出医疗系统承受力，将会有已被确诊但不能隔离的病患继续感染其他人。我们设确诊并没有被隔离的人数为A(t). 则上面新增感染者的公式调整为

而A(t)需要通过增加医疗系统容量来消化。增加医疗系统容量的方式包括：治愈出院人数，医院病亡人数以及新建容量。所以模型中涉及到了治愈率，死亡率，平均治愈期，平均病亡期，以及医院新增床位数。通过模拟，我们发现当医院满员无法接受新确诊的病患时，感染人数会迅速的升高。我们把医疗系统病患满员的时刻称为紧张时刻。此后，疫情进入医疗系统紧张期。这期间医疗系统对病毒传播的控制作用很有限，需要其他防控措施的介入。我们给出判断医疗系统紧张期的数学判据，剩余隔离床位小于当日确诊人数，即：

关于四种主要防疫措施效果的量化。措施一可以额外增加医疗系统的容量，消化发病O(t)与未隔离A(t)人群。措施二与措施三可以降低感染比例系数r与β. 措施四可以提高每日确诊人数C(t)，这在防疫初期很有作用，但是当医疗系统已经无法收治新确诊者时，就没有明显作用了。

数据搜集和参数估算2月初至今，团队从各省市卫健委官网搜集到武汉和其他省市官方每日确诊病例数信息、已公布信息的确诊病例年龄、感染时间、就诊时间、确诊时间、住院时间信息，武汉床位和方舱每日供应数量等医疗资源信息，并从《柳叶刀》、《新英格兰医学杂志》等顶级医学杂志发表的冠状病毒相关论文搜集整理病毒传播数字特征和分析结论，通过数据积累和计算，完成了对表1变量初值和参数的估算。

四、武汉复盘

变量和参数设置

官方通告中，12月8日武汉首例确诊者出现症状。我们设初始时间t=0 对应于12月1日。我们将初始传染者人数设置为I(0)=5；武汉每人每日平均密切接触人数 r 设置为14；采取防疫措施后 r 设置为5。这两个估计值 I(0)=5 与 r =14,5 对应的模拟结果与武汉官方公布的每日新增确诊人数大体吻合。

根据《新英格兰医学杂志》发表的论文《 Early Transmission Dynamics in Wuhan, China, of Novel Coronavirus-Infected Pneumonia》对武汉早期425个确诊病例分析，2019年12月1日至2019年12月31日期间，病人平均发病到就诊的时间为5.8天(95%CI 4.3-7.5 )；1月1号至1月22号为4.6 (95%CI 4.1-5.1)天。因此我们将就诊率 σ 在这两个阶段的值分别设置为0.17和0.22；1月23日后宣布封城后，有症状患者的就医意愿会显著增加，我们把此时的 σ 设置为0.5(相当于发病患者平均两天就诊)；2月15日大量增加检测能力和全面排查后，我们认为σ上升至0.9。

我们估计病人平均就诊到住院（隔离）时间 N2为3天，对应于确诊率α=0.3，2月15日开始“大排查”和“应收尽收”后，我们估计α=0.8. 无自我保护措施的情况，我们估计病毒传染性 β=0.04，在自我保护措施下，我们设置β=0.02。(有论文论证戴口罩可把传染性降低一半，见参考文献)

根据武汉市政府公布的每日床位剩余情况数据，我们估计武汉市各医院的初始床位总数为3000张，疫情进入紧张期之后每日新增床位数为800张。自1月23日起，连续增加24天床位。此外，自2月5日起，武汉市开始修建方舱医院（王辰院士提出），集中收治确诊患者。每日增加方舱床位数约2000张，持续增加10天，共计约20000张。

根据以上分析武汉在四个阶段中模型参数的设置如表2所示：

模拟结果

将表2中的参数配置至Python程序中，生成的模拟结果和官方公布的武汉病例数字做对比，见表3与图3AB

从图3A可看出，Python程序模拟的每日确诊C(t)数字与官方公布的每日确诊数字差别不大，除个别时间段外，总体增长趋势保持一致。从图3B可看出，官方公布的武汉每日新增确诊数字和计算机模拟的每日新增数字在整体形状上基本相似，但模拟数据约10天提前于官方发布。我们分析有如下三个原因：

一、程序模拟中参数变化的效果会立即在输出结果中显现。而在现实中的防控措施需要一段时间才能被完整实施；

二、现实中每日新增确诊人数从实验室确诊到官方汇总统计报道有若干天的延迟；

三、程序中将12月1日设定为疫情初始(t=0)并设初始感染者为5例。这未必符合真实情况。但这也给追溯疫情提供了一个思路。通过在模拟中调整初始时间与初始感染者，根据模拟结果与实际情况的对比，可以更准确地反推疫情开始时间以及初始感染人数。

特别地，Python程序模拟显示，武汉进入医疗资源紧张期于t=56天，即1月26日。这和新闻报道中武汉医疗资源出现紧张、各大医院向外界紧急求援的日期高度一致。

同时，我们发现，在武汉组织“大排查”、“应收尽收”和采取建造方舱医院措施后，武汉市每日新增确诊病例虽然立刻出现了较大幅度的增长，但后续增长数量随之出现了大幅下跌，且不再出现反弹。这说明武汉的“大排查”、“应收尽收”和“方舱医院”是非常时期最为明智的抗疫决策。

我们通过测试参数配置发现：如果没有方舱医院，确诊人数清零需要220天，武汉疫情会持续到6月份，最终确诊人数超过10万。如果没有“大排查”和“应收尽收”，武汉疫情也要持续到6月份，最终确诊人数超过7万。

五、What If 提早或延后干预

武汉复盘模拟之后，我们考虑如果改变防控措施介入的时间节点会出现什么结果？我们对Python程序中的参数改变时间做出调整后，得到了令人吃惊的结果。

1月2日-早期防控

我们假设武汉防控措施在1月2日开始启动。这样假设对于未知病毒属性的疫情突发情况并不现实，但对于疫情后发国家则有很重要的借鉴经验。我们考虑两种假设的防控等级：一是严格控制，令每人每日平均密切接触人数r=5；二是一般控制，即采取和目前复工复产后类似强度的限制人员接触措施，令r=10. 全部参数设置如表4所示：

Python程序模拟结果显示，因采取防控措施较早，两种防控等级下，武汉医疗资源都不会出现挤兑而进入紧张期。即便在初期检测试剂盒不够的条件下（令确诊率α=0.3），市民只采取戴口罩（传染性 β=0.02）、降低人员密切接触次数（密接r=5或10）和快速送诊、集中排查（就诊率σ=0.8）三种措施，即可将疫情控制在感染总人数1000-5000范围内。

值得注意的是，“一般控制”情况极具有借鉴意义：在该情况下，社会不停工停产，社交弱隔离，疫情也得到了控制，医疗资源不会紧张，而这种程度防控措施对社会经济冲击较小，但疫情会在低水平持续10个月。我们推测当前韩国的情况就属此类(下期内容详细分析)。

1月23日-钟南山时刻

如果1月2日即行防控措施，可以在不严重损伤社会经济的情况下控制武汉疫情。那么1月23日实施防控是否可以说是武汉控制疫情的关键时刻？ 通过将防控措施推迟几天的模拟，我们发现如果在1月25日才开始采取控制措施那么最终感染者数量将会出现大幅度跃升，武汉在3个月内无法控制住疫情，医疗资源会持续性紧张。表5是Python程序模拟结果：

我们根据模型模拟结果推测，如果防控措施推迟三天即1月26日，90天内感染人数可能会高达十万人，是现在报告人数的二倍！让我们再次回想当初的情况，钟南山院士1月20日晚在记者招待会上宣布肯定存在“人传人”，两天后的1月23日清晨武汉宣布封城。假如再迟3天，我们就要付出不可想象的代价。1月20日，也是当之无愧的“钟南山时刻”！

尾声：

当我们用科学的眼光再次审视武汉疫情，才发现看似岁月静好的时光潜藏着怎样的暗流汹涌，更发现大灾大难之下闪耀的英雄之星。正是他们在关键时刻力挽狂澜，才让我们从病毒手中赢回了武汉，赢回了中国！让我们记住这一个个名字张继先、钟南山、王辰……

参考文献
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