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是否存在一个视角,太阳、地球和月球一样大? 第1页

  

user avatar   zhangjiajie043 网友的相关建议: 
      

挺有意思的问题。首先做一点简化假设,认为地球和月球的轨道都是正圆(如果按椭圆算会稍微麻烦一点,但不影响结论,这里正圆假设是为了更抽象地提炼问题本身)

我们先从一个简单的一点的情形入手:有两个大小不一样的球,从哪里看起来他们两个是一样大的?也就是这样一个问题:如下图所示,O1 和 O2 位置处有两个半径分别为 R1 和 R2 的两个球,O1 和 O2 距离是 L,从一个第三点 P 看起来,O1 和 O2 两个球一样大,P 点应该满足怎样的条件?

利用中学数学知识,我们知道从 P 点看两个球的视(角)直径为:

如果要两边看起来一样大,只要满足 即可,整理一下就得到

也就是说,P 点到 O1 和 O2 两个定点的距离之比,是某个定值。如果中学几何还没有忘记的话,我们应该反应过来,这就是阿波罗尼斯圆(Circle of Apollonius)。也就是说,P 点的轨迹是一个圆

这个圆的半径是:

这个圆的圆心在 O1 O2 的连线上,在 O2(小的那个球)的外侧,与 O1 和 O2 的距离分别为:

如果我们把 O1 当做太阳,O2 当做地球,那么可以按照上面这样建立几何关系,我们把日地之间的阿波罗尼斯圆记为 A,太阳用 S 表示,地球用 E 表示。我们可以计算日地之间的阿波罗尼斯圆的参数(半径、与地球的距离):

同样的,我们可以计算出地球-月球之间的阿波罗尼斯圆。我们把地月之间的阿波罗尼斯圆记为 B,用 M 代表月球的话,那么这个圆的参数为:

所以问题就归结为,这两个阿氏圆,有没有可能有交点?很显然,再次利用中学几何学知识,两圆的圆心最大距离为 ,远小于两圆的半径之差 ,所以两个圆是没有交点的。

如果我们以地球为参照系,可以做出下面的示意图。图中 E 表示地球,CA 代表阿氏圆 A(深红色大圆)的圆心,CB 表示阿氏圆 B 的圆心。可以看出两个圆是没有任何可能相交的。


结论:不存在这样的地方,使得太阳、地球、月球一样大。


以上计算使用的参数如下:

太阳半径
地球半径
月球半径
日地距离
月地距离




  

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