为何能量-动量张量会导致时空弯曲？ 第1页

不知道题主问的“本质”什么的是在说些什么；正如其它答主所说，这种描述有些超出物理学范畴的嫌疑。不过如果是说“新理论”（在这里说的也是将近半个世纪以前的工作了）的话，在此讲一下学界较为认可的，从量子场论讨论广义相对论这个理论的必然性。

先简单说一下结论：如果引力是一个自洽的自旋为2无质量粒子的量子场论，那么自洽性必然会要求这个场只能源于能量-动量，并且这个场【可以】理解为时空的几何结构，这个理论的经典场论就是广义相对论。

抛开技术细节的解释大概是说，自洽的（量子）场论中无质量的粒子必须满足特殊的“对称性”（规范对称，或者叫做冗余性），为了满足这种“对称性”：

• 这种场只能源自于守恒流，而自旋为2的守恒流在场论中有唯一性（Coleman-Mandula定理），正是所谓的能量-动量张量。
• 这种对称性（通过Ward-Takahashi恒等式）限制了这个场相互作用的形式，而在这个限制下唯一的结果正好和时空曲率有关联（参考S. Deser (1970)以及S. Deser D. Boulware (1974)两篇文章）。

**注：当然简单的量子化引力存在着许多问题，但是这里说的场论都是意指相对论性的有效场论，并且以上过程用到的定理即使在有效场论层面都是成立的（将量子化广义相对论作为一个有效场论处理参考J. Donoghue (1994)）。

以下讨论技术细节。

我们考虑自旋2的不可约表示（irrep）。用4d洛伦兹群旋量表示的语言（参考Weinberg 5.7节），有 、 、、、 。其中

• 、 为无迹 反对称 的对偶/反对偶 四阶张量；
• 为无迹、对称的二阶张量 ；
• （*最后两种irreps和torsion变换的形式相同，此处不考虑。）

类比QED中 和 存在 ：我们可以得出前者构建的 与 同样也不是独立的

为了保证正确的自由度，我们还要要求规范变换下，该理论具备不变性（类比Weinberg 5.9中论述电磁场规范变换 与自旋1无质量粒子自由度之间的联系）。

此时 的无迹条件（其实就是线性化的真空Einstein方程）就变成了 的运动方程（选取harmonic gauge ，这个运动方程其实就是波动方程

类比Lorenz gauge下Maxwell方程组变为 波动方程）。我们可以推导出这个运动方程对应唯一规范不变的Lagrangian是

这是一个二次于的Lagrangian，因此是一个自由理论。接下来我们要考虑自洽的相互作用

（1）外界源（external source）

为了保证 的规范变换下 不改变作用量，这个场的外界源

只能是一个守恒的对称二阶张量 （同见Weinberg 5.9节）。而Coleman-Mandula定理告诉我们存在non-trivial相互作用以及mass scale的场论，Poincaré群是仅有的时空对称性（当然根据Haag-Łopuszański-Sohnius定理还存在超对称，但那些是旋量生成元因此不做考虑），进而能量-动量张量是唯独的二阶张量守恒流（然后因为是对称张量的缘故，所以事实上选取得是Belinfante-Rosenfeld张量）。

（2）自作用（self-interaction）

当自由场与上述任意外界源 耦合时，我们可以计算引力子散射振幅 。规范对称性要求这个振幅满足Ward-Takahashi恒等式 （类比Weinberg 10.5节的论证）。然而直接计算会发现；因此我们得出结论：自由引力子无法自洽地与外界源耦合。

但与此同时，自由引力子本身的Lagrangian 也会贡献能量-动量张量

我们也可以自洽地将其与耦合得到

由于 ，因此 给出三引力子自作用项。以此类推，我们用 得到 进而获得四引力子自作用项，再由此得出五引力子项……最终获得有无穷项的完整自作用的Lagrangian

（**注：由于自作用的加入， 也会获得修正 ，从而保证守恒律的自洽性。）

通过运用一些技巧如field redefinition、auxiliary field（事实上就是度规适配的Levi-Civita联络），S. Deser (1970)以及S. Deser D. Boulware (1974)证明了如果将理解为度规的微扰 ，则 加上所有修正项可以理解为Riemann曲率张量，并且以上无穷项的自作用 在经典层面和Einstein-Hilbert Lagrangian完全吻合

（**注：当然这里都是只考虑到了tree-level的费曼图，由于引力不可重整，考虑量子修正会出现E-H作用量以外的贡献；具体计算见J. Donoghue (1994)。）

由此可见，从一个自旋2无质量场出发（并且假设torsion free），那么自洽的理论必然只能是①自由场论（没有什么物理意义），或是②由Belinfante-Rosenfeld能量-动量张量产生在经典层面和广义相对论几何解释完全相同的唯一的场论。

（这个唯一性或许存在deep implications，例如Cliff Cheung散射振幅讲义第四页说到了E-H Lagrangian的唯一性；或许Nima的polytopes早已钦定了一切呢【手动滑稽】＼(￣▽￣)／）